二次多項式解集分析

Mapping out the polynomials

I’m analyzing two real-coefficient quadratics, f(x) and g(x), with zeros at specific x values. I'll explore where their combined sum is greater than zero. This involves examining their signs.

Examining interval possibilities

I’m considering if f(x) + g(x) > 0 for x > 3 or x < 1, by setting a positive or negative value for a and b. This approach helps gauge feasible intervals.

Evaluating options

I’m examining a negaitve sign for a or b, finding that f(x) + g(x) = 2(x-2), which is positive for x > 2 and negative for x < 2.

Reevaluating intervals

Taking a closer look, I’m examining combinations of a and b to understand if the solution set shifts to intervals x > 3 or x < 1.

Laying out the options

I’m looking into intervals x > 3 or x < 1, aiming to understand if one quadratic can be > 0 outside [1,3] by examining the parabola's shape and roots.

Piecing together polynomial equations

I’m working through polynomial equations to see if x > 3 or x < 1 can fit roots at 1 and 3, factoring as c(x-1)(x-3).

Breaking down the solution

I’m trying to factor f(x) + g(x) as c(x-1)(x-3). However, a contradiction arises, indicating no solution for c > 0, and x > 3 or x < 1 is not feasible.

Adjusting parameters

I’m tweaking a and b to ensure the polynomial remains > 0. The aim is for a negative discriminant, confirming no real roots and constant positivity.

Calculating the discriminant

I’m testing various a and b combinations to assess if the polynomial remains always positive. By examining the discriminant, it appears as a perfect square with positive results.

Determining the discriminant

I expanded and simplified the discriminant, confirming it as (a-b)^2, implying non-negativity. This indicates the polynomial always has real roots, making it impossible for the polynomial to stay strictly > 0 for all x.

Confirming polynomial properties

I verified that setting a = b leads to a repeated root. This ensures the polynomial is non-negative for all x, with equality at the repeated root, making solution #2 impossible.

Evaluating combinations

I examined a = 1 and b = 1, leading to f(x) + g(x) = 2(x-2)^2, which is non-negative for all x and zero at x = 2. This suggests the solution #3 is viable.

Evaluating feasibility

Considering a = b < 0, the polynomial becomes non-positive. For x > 1.5 and x < 2, the sum can turn positive, potentially fitting solution #5.

Analyzing polynomial behavior

I’m examining a downward-opening parabola with roots at 1.5 and 2. This setup can produce a positive interval between the roots, suggesting potential solution #5.

Mapping polynomial factors

I’m working through polynomial factors to see if a negative constant can meet conditions for solution #5, ensuring positive results between specific limits.

Thought about quadratic functions and solutions 花的時間為 40 秒

解析思路：

設

其中 $a,b$ 為實數常數。那麼

1. 先觀察判別式

二次式 $(a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b)$ 的判別式為

先將括號展開、整理：

1. $\bigl[-3a - 5b\bigr]^2 = 9a^2 + 30ab + 25b^2.$
2. $(a+b)(2a+6b) = 2a^2 + 8ab + 6b^2.$
   再乘上 4 得 $4\,(2a^2 + 8ab + 6b^2) = 8a^2 + 32ab + 24b^2.$

因此

結論

$f(x) + g(x)$ 這個二次式的判別式永遠是 $(a-b)^2$，因此它要嘛有兩個實根、要嘛是一對重根 (當 $a=b$ 時)。
這也意味著，不可能 出現「對所有實數 $x$ 都大於 0」(即整個拋物線完全在 $x$-軸上方且無交點) 的情形。

2. 檢驗各選項可否「成為」 $f(x)+g(x)>0$ 的解集

題目列出的候選解集有：

1. $x>3$ 或 $x<1$。
2. $x$ 為任意實數。
3. $x \neq 2$。
4. 無解。
5. $\tfrac{3}{2}<x<2$。

我們要判斷：對某些 $a,b$ 的選取，有沒有可能 使得 $f(x)+g(x) > 0$ 的解正好是這些集合之一。

(A) 選項 2：「$x$ 為任意實數」是否可能？

若要對所有實數 $x$ 都有 $f(x)+g(x) > 0$，那代表整條拋物線「永遠在 $x$-軸之上且無交點」。
然而上面判別式分析已知 $\Delta = (a-b)^2 \ge 0$，所以二次式一定有實根(單、雙根都算)。

• 若 $\Delta>0$，有兩 distinct 實根，拋物線一定會有一段在 $x$-軸下方。
• 若 $\Delta=0$，只有一個重根，頂多做到「$\ge0$ for all $x$」，而在重根處等於 0，並沒有「嚴格大於 0」。

因此不可能「對所有 $x$ 都嚴格大於 0」；選項 2 不可能。

(B) 選項 3：「(x \neq 2\」是否可能？

如果希望 $f(x)+g(x)$ 只有在 $x=2$ 時等於 0、其他時候都 > 0，表示整個拋物線只有一個重根，而且開口向上。

1. 一個重根在 $x=2$
2. 開口向上 $\implies a+b>0$
3. 並且在該重根處 $f(x)+g(x)=0$。

讓我們嘗試最簡單情形：令 $a=b=1$，則

則

這個拋物線正好只在 $x=2$ 時碰到 0，其他 $x$ 值均為正。
因此其解集為 $x \neq 2$。

證實選項 3 可以實現。

(C) 選項 4：「無解」是否可能？

「無解」表示 $f(x)+g(x) > 0$ 根本沒有任何解，也就是對所有 $x$ 都「$\le$ 0) 或至少「從不大於 0」。

要做到「整條拋物線永遠在 $x$-軸之下或剛好壓在上面」，需要

1. 開口向下 (即 $a+b < 0$)，
2. 且判別式 $\Delta \le 0$ 讓它不「抬頭」穿過 $x$-軸。

我們已知 $\Delta=(a-b)^2$。若要 $\Delta=0$ 則 $a=b$。

• 再加上 $a+b<0$，可令 $a=b<0$。

舉例：

先分別展開：

相加得到

整條拋物線開口向下，且最大值在 $x=2$ 處為 0，其它地方更小，因此

「嚴格大於 0」的解不存在。

證實選項 4 可以實現。

(D) 選項 1：「$x>3$ 或 $x<1$」是否可能？

要讓「解集是 $x<1$ 或 $x>3$」表示拋物線在區間 $(1,3)$ 之間整段 < 0、而在外面 > 0。
換言之，該二次式若開口向上，則它的兩個交點應該是 $x=1$ 與 $x=3$，使得外側呈現 > 0、內側 < 0。

我們想看看：能否令

若可以，就會得到解集 $x<1$ 或 $x>3$。

但是透過「把 $f(x)+g(x)$ 與 $c\,(x-1)(x-3)$ 比較係數」去解聯立方程，最終會發現無法同時滿足(會導致參數矛盾)。實際計算可見：

• 若令 $f(x)+g(x) = (a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b)$，想要它正好等於 $c(x^2 -4x +3)$，需滿足： $$a+b=c,\quad -3a-5b = -4c,\quad 2a+6b = 3c.$$ 解此系統會出現衝突(最終會逼出 $c=0$)，代表無法同時滿足。

因此，選項 1 不可能 透過某對 $a,b$ 來實現。

(E) 選項 5：「$\tfrac{3}{2}<x<2$」是否可能？

想要解集是「在 $\tfrac{3}{2}$ 與 $2$ 之間」才 > 0，代表

• 這條拋物線應該開口向下(才能在兩根之間為正、外側為負)，
• 且兩個交點正好是 $x=\frac{3}{2}$ 與 $x=2$。

也就是

展開得

所以

並比較係數：(設 $\alpha=a+b,\;\beta=-3a-5b,\;\gamma=2a+6b$)

去解

只要能在 $c<0$ 下找到實數 $a,b$ 即可。實際運算確可解出一整組參數(不會矛盾)。例如選 $c=-4$，就能求出 $a=-3,\,b=-1$（或其他對應解），最後得到拋物線的根果然是 $\frac{3}{2},\,2$，開口向下，區間 $\frac{3}{2}<x<2$ 為正。

證實選項 5 可以實現。

3. 總結

• 選項 1 ($x>3$ 或 $x<1$)：不可能。
• 選項 2 ($x$ 為任意實數)：不可能。
• 選項 3 ($x \neq 2$)：可以。
• 選項 4 (無解)：可以。
• 選項 5 ($\tfrac{3}{2}<x<2$)：可以。

答案：3、4、5。