牧师与魔鬼渡河

问题

要运用智慧帮助3个牧师和3个魔鬼渡河。船最多可以载2名游成角色。船上有游戏角色时,你才可以点击这个船, 让船移动到对岸。当有一侧岸的魔鬼数多余牧师数时 (包括船上的魔鬼和牧师) ,魔鬼就会失去控制,吃掉牧师 (如果这一侧没有牧师则不会失败) ,游戏失败。当所有游戏角色都上到对岸时,游戏胜利。

思考

Strategizing the crossing

I’m working through the puzzle of 3 priests and 3 devils crossing a river. The goal is to ensure that devils never outnumber priests on either bank, labeling states to track each side.

Embarking on the journey

I’m starting by moving two devils across the river, ensuring constraints are met. Then, I’ll have one devil return to maintain balance and keep the journey steady and smooth.

Ensuring balance

Handling the boat's capacity involves careful coordination to keep devils from outnumbering priests on either bank, following a systematic approach to maintain equilibrium throughout the crossing.

Security measures

I’m making sure devils don’t outnumber priests by moving two devils across the river, one devil back, then sending two priests across. I’m rechecking constraints each step to maintain balance.

Ensuring balance

I’m keeping a close eye on constraints to avoid devils outnumbering priests at any point. This careful approach guides us towards maintaining equilibrium throughout the journey.

Balancing the journey

I’m meticulously tracking each step, ensuring devils don’t outnumber priests. Each crossing is checked for adherence to constraints, fostering a steady and harmonious process throughout.

Mapping the course

I’m working through the movements, ensuring the boat returns with a devil to keep priest-devil numbers balanced. The final goal is to have all devils and priests on the right bank.

Navigating the journey

I’m avoiding devils outnumbering priests by alternating between crossings and returns. Each step is checked to ensure constraints are followed, maintaining equilibrium throughout the puzzle.

Navigating steps

I’m considering movements to avoid priests outnumbering devils, ensuring balance. Each step is checked for constraints, aiming to transport all devils to the right bank successively.

Mapping the plan

I’m working on a careful strategy to ferry all devils and priests to the right bank, ensuring the boat never leaves with more devils than priests, adhering to the constraints.

Identifying patterns

OK, let me see. I'm thinking through the sequence for moving 3 missionaries and 3 cannibals across the river, ensuring the boat neve leaves with more cannibals than missionaries on either side.

Crafting a solution

I’m thinking about a step-by-step instruction for moving 3 priests and 3 devils across the river in Chinese, ensuring constraints are followed throughout the process.

Tracking the journey

I’m ensuring each move keeps the priest and devil count balanced, adhering to constraints. Progress is steady, and the final state shows all on the right, validating the solution.

Thought about 牧师与魔鬼过河问题，持续 30 秒

回答

下面给出一个常见的 3 个牧师（M）和 3 个魔鬼（D）渡河的可行解法。为了方便说明，先约定一些记号：

记左岸状态为 $(M_L, D_L)$ ，右岸状态为 $(M_R, D_R)$ 。
$M_L$ 表示左岸牧师数量， $D_L$ 表示左岸魔鬼数量； $M_R$ 与 $D_R$ 表示右岸对应数量。
船的位置用“ $\Leftarrow$ ”或“ $\Rightarrow$ ”来表示当前船在左岸还是右岸。
每次移动后，都要检查左右岸是否满足：若某岸有牧师（ $M>0$ ）则必须保证牧师数量 $\ge$ 魔鬼数量，否则即会被“吃掉”，游戏失败。

初始状态：左岸 $(3,3)$ ，右岸 $(0,0)$ ，船在左岸。
目标状态：左岸 $(0,0)$ ，右岸 $(3,3)$ ，船可在任意岸(通常在右岸结束)。

解法示例

下面是一条常见的 11 步解法。每一步会注明船上运送的角色及移动方向，并给出移动后两岸的状态。

左岸 $\to$ 右岸：载 2D（2 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(3,3)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(0,0)$
- 移动后：左岸 $(3,1)$ ，右岸 $(0,2)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：3 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 3，安全）
  - 右岸：0 牧师、2 魔鬼（0 牧师无需比较，安全）
右岸 $\to$ 左岸：载 1D（1 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(3,1)$ ，右岸 $(0,2)$$\Rightarrow$
- 移动后：左岸 $(3,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(0,1)$
- 检查左右岸：
  - 左岸：3 牧师、2 魔鬼（2 ≤ 3，安全）
  - 右岸：0 牧师、1 魔鬼（安全）
左岸 $\to$ 右岸：载 2D（2 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(3,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(0,1)$
- 移动后：左岸 $(3,0)$ ，右岸 $(0,3)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：3 牧师、0 魔鬼（安全）
  - 右岸：0 牧师、3 魔鬼（安全）
右岸 $\to$ 左岸：载 1D（1 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(3,0)$ ，右岸 $(0,3)$$\Rightarrow$
- 移动后：左岸 $(3,1)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(0,2)$
- 检查左右岸：
  - 左岸：3 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 3，安全）
  - 右岸：0 牧师、2 魔鬼（安全）
左岸 $\to$ 右岸：载 2M（2 个牧师）
- 移动前：左岸 $(3,1)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(0,2)$
- 移动后：左岸 $(1,1)$ ，右岸 $(2,2)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：1 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 1，安全）
  - 右岸：2 牧师、2 魔鬼（2 ≤ 2，安全）
右岸 $\to$ 左岸：载 1M + 1D（1 牧师 + 1 魔鬼）
- 移动前：左岸 $(1,1)$ ，右岸 $(2,2)$$\Rightarrow$
- 移动后：左岸 $(2,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(1,1)$
- 检查左右岸：
  - 左岸：2 牧师、2 魔鬼（2 ≤ 2，安全）
  - 右岸：1 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 1，安全）
左岸 $\to$ 右岸：载 2M（2 个牧师）
- 移动前：左岸 $(2,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(1,1)$
- 移动后：左岸 $(0,2)$ ，右岸 $(3,1)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：0 牧师、2 魔鬼（0 牧师，无需比较，安全）
  - 右岸：3 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 3，安全）
右岸 $\to$ 左岸：载 1D（1 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(0,2)$ ，右岸 $(3,1)$$\Rightarrow$
- 移动后：左岸 $(0,3)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(3,0)$
- 检查左右岸：
  - 左岸：0 牧师、3 魔鬼（安全）
  - 右岸：3 牧师、0 魔鬼（安全）

到这里，可以看到，左右岸“互换”了一下：左岸全魔鬼，右岸全牧师。剩下要做的就是把左岸 3 个魔鬼继续安全运到右岸。

左岸 $\to$ 右岸：载 2D（2 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(0,3)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(3,0)$
- 移动后：左岸 $(0,1)$ ，右岸 $(3,2)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：0 牧师、1 魔鬼（安全）
  - 右岸：3 牧师、2 魔鬼（2 ≤ 3，安全）
右岸 $\to$ 左岸：载 1D（1 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(0,1)$ ，右岸 $(3,2)$$\Rightarrow$
- 移动后：左岸 $(0,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(3,1)$
- 检查左右岸：
  - 左岸：0 牧师、2 魔鬼（安全）
  - 右岸：3 牧师、1 魔鬼（1 ≤ 3，安全）
左岸 $\to$ 右岸：载 2D（2 个魔鬼）
- 移动前：左岸 $(0,2)$$\Leftarrow$ ，右岸 $(3,1)$
- 移动后：左岸 $(0,0)$ ，右岸 $(3,3)$$\Rightarrow$
- 检查左右岸：
  - 左岸：0 牧师、0 魔鬼（安全）
  - 右岸：3 牧师、3 魔鬼（3 ≥ 3，安全）

至此，3 个牧师与 3 个魔鬼全部安全到达右岸，游戏成功！

小结

关键思路：无论船在哪一岸，都要保证那一岸若有牧师存在，则牧师数量不能少于魔鬼数量。
在移动时，可优先考虑让魔鬼先调配到对岸，从而“腾出”牧师；中途再让部分牧师和魔鬼一起回来，反复调度，最终达成目标。
以上解法并非唯一解，但它是常见且步数较短（11 步）的方案之一。只要每一步都不违反“某一岸若有牧师，则牧师数 ≥ 魔鬼数”的原则，就能顺利过关。

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