Объём треугольной призмы

Рассмотрим правильную треугольную призму, у которой все боковые грани являются квадратами. Пусть длина ребра основания призмы равна $s$ . Поскольку все боковые грани — квадраты, высота призмы также равна $s$ .

Шаг 1: Найдём длину ребра основания

Площадь боковой поверхности призмы состоит из трёх квадратов, каждый со стороной $s$ :

3s^2 = 324 \implies s^2 = 108 \implies s = 6\sqrt{3}

Шаг 2: Определим вершины многогранника

Многогранник формируется центрами всех граней призмы:

Два центра треугольных оснований.
Три центра квадратных боковых граней.

Шаг 3: Вычислим объём многогранника

Многогранник представляет собой двойную пирамиду с треугольным основанием. Для вычисления объёма необходимо:

Найти площадь треугольного основания.
Определить высоту каждой из пирамид.

Площадь треугольника, образованного центрами боковых граней, равна $\frac{27\sqrt{3}}{4}$ .

Высота каждой пирамиды равна половине высоты призмы, то есть $\frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ .

Объём одной пирамиды:

V_{\text{пирамиды}} = \frac{1}{3} \times \text{площадь основания} \times \text{высота} = \frac{1}{3} \times \frac{27\sqrt{3}}{4} \times 3\sqrt{3} = \frac{81}{4}

Поскольку многогранник состоит из двух таких пирамид, общий объём:

V = 2 \times \frac{81}{4} = \frac{81}{2}

Ответ: Объём многогранника равен $\frac{81}{2}$ кубических единиц.

Объём треугольной призмы

问题

思考

回答

分享这个问答