饮料销售与进价

问题（1）

已知条件：

• A饮料售价：5元/瓶，进价：4元/瓶
• B饮料售价：8元/瓶，进价：6元/瓶
• 第一周共售出A、B两种饮料2000瓶，总销售额12400元

设定变量：

• 设第一周售出A饮料为 $x$ 瓶
• 售出B饮料为 $y$ 瓶

建立方程组：

$$\begin{cases} x + y = 2000 \\ 5x + 8y = 12400 \end{cases}$$

解方程组：

1. 从第一方程得 $y = 2000 - x$
2. 代入第二方程：

$$5x + 8(2000 - x) = 12400 \\ 5x + 16000 - 8x = 12400 \\ -3x = -3600 \\ x = 1200$$

3. 因此，$y = 2000 - 1200 = 800$

答案： 第一周售出A饮料1200瓶，B饮料800瓶。

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问题（2）

已知条件：

• 第二周A饮料售价不变，B饮料售价打八折（即售价为 $8 \times 0.8 = 6.4$ 元/瓶）
• 第二周售出的A饮料数量比第一周增加10%，即 $1.1x = 1.1 \times 1200 = 1320$ 瓶
• 第二周售出的B饮料数量比第一周增加 $m$ 瓶，即 $y + m = 800 + m$ 瓶
• 第二周总利润为2040元

利润计算：

• A饮料每瓶利润：售价 - 进价 = $5 - 4 = 1$ 元
• B饮料每瓶利润：售价 -进价 = $6.4 - 6 = 0.4$ 元

建立利润方程：

$$1 \times 1320 + 0.4 \times (800 + m) = 2040$$

解方程：

$$1320 + 0.4 \times 800 + 0.4m = 2040 \\ 1320 + 320 + 0.4m = 2040 \\ 1640 + 0.4m = 2040 \\ 0.4m = 400 \\ m = \frac{400}{0.4} = 1000$$

答案： $m = 1000$ 瓶

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问题（3）

已知条件：

• 第三周购进A、B两种饮料共1600瓶，设购进A饮料为 $a$ 瓶，则B饮料为 $1600 - a$ 瓶。
• 优惠方案：
  • A饮料：
    • 购进量 ≤ 400瓶，单价打九折，即 $5 \times 0.9 = 4.5$ 元/瓶
    • 购进量 > 400瓶，单价每瓶优惠0.8元，即 $5 - 0.8 = 4.2$ 元/瓶
  • B饮料：
    • 购进量 ≤ 400瓶，无优惠，单价8元/瓶
    • 400 < 购进量 ≤ 800瓶，超过400瓶部分打九折，即7.2元/瓶
    • 购进量 > 800瓶，超过800瓶部分打八折，即6.4元/瓶

分析： 由于 $a < 1600 - a$，即 $a < 800$，所以B饮料购进量 $b = 1600 - a > 800$ 瓶。

计算付款金额：

1. A饮料付款：

   • 若 $a \leq 400$： $$4.5a$$
   • 若 $a > 400$： $$4.2a$$

2. B饮料付款：

   • 前400瓶按8元/瓶： $$400 \times 8 = 3200 \text{元}$$
   • 接下400瓶按7.2元/瓶： $$400 \times 7.2 = 2880 \text{元}$$
   • 超过800瓶部分按6.4元/瓶： $$(1600 - a - 800) \times 6.4 = (800 - a) \times 6.4 \text{元}$$
   • 总B饮料付款： $$3200 + 2880 + 6.4(800 - a) = 6080 + 6.4(800 - a) = 11200 - 6.4a \text{元}$$

3. 总付款金额：

   • 若 $a \leq 400$： $$4.5a + 11200 - 6.4a = 11200 - 1.9a \text{元}$$
   • 若 $a > 400$： $$4.2a + 11200 - 6.4a = 11200 - 2.2a \text{元}$$

代数表达式：

$$\text{总付款金额} = \begin{cases} 11200 - 1.9a & \text{若 } a \leq 400 \\ 11200 - 2.2a & \text{若 } a > 400 \end{cases}$$

解释：

• 对于A饮料，根据购进量不同，单价有不同的优惠方式。
• 对于B饮料，由于购进量固定为超过800瓶，按照优惠方案，前800瓶的价格已确定，超过800瓶的部分按更低的价格计算。
• 最终，总付款金额根据A饮料的购进量分为两种情况。