电势差计算与分析

我们来逐步解决这个电学问题，涉及同心导体球和导体球壳的电势与电势差。

问题描述

• 内球：半径为 $r$，带电量为 $q$。
• 同心球壳：内半径 $R_1$，外半径 $R_2$，总带电量为 $Q$。

（1）求球和球壳的电势及电势差

电荷分布分析：

• 内球带电量 $q$，在球壳的内表面会感应出电荷 $-q$。
• 为保持球壳的总电荷量为 $Q$，球壳的外表面带电量为 $Q + q$。

电场分布：

1. $r < r$：内球内部，电场 $E = 0$。
2. $r < r < R_1$：由内球带电 $q$ 产生电场： $$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q}{r^2}$$
3. $R_1 < r < R_2$：导体内部电场为零。
4. $r > R_2$：由内球和外球壳的总电荷 $q + Q$ 产生电场： $$E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \cdot \frac{q + Q}{r^2}$$

电势计算： 选择无穷远处电势为零。

• 内球表面的电势 $V_s$：

  $$V_s = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q + q}{4\pi\epsilon_0 R_2}$$

  这里：

  • $\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}$：由内球自身带电产生的电势。
  • $-\frac{q}{4\pi\epsilon_0 R_1}$：由球壳内表面感应电荷 $-q$ 产生的电势。
  • $\frac{Q + q}{4\pi\epsilon_0 R_2}$：由球壳外表面带电 $Q + q$ 产生的电势。

• 球壳的电势 $V_{\text{shell}}$：

  $$V_{\text{shell}} = \frac{Q + q}{4\pi\epsilon_0 R_2}$$

• 电势差 $\Delta V$：

  $$\Delta V = V_s - V_{\text{shell}} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right)$$

（2）将球壳接地后的电势差

当球壳接地时，球壳的电势 $V_{\text{shell}} = 0$。

根据（1）中的关系：

因为 $V_{\text{shell}} = 0$，所以：

这即为球与接地球壳之间的电势差。

（3）用导线连接球和球壳后的电势差

当内球和球壳通过导线连接时，它们必须处于相同的电势，即：

从（1）可知：

简化后得到：

由于 $r \neq R_1$，唯一解为 $q' = 0$。这意味着：

• 内球最终不带电。
• 球壳带有总电荷 $Q + q$。

因此，连接后的电势差为零。

总结

1. 电势：

   • 内球： $V_s = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} - \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R_1} + \frac{Q + q}{4\pi\epsilon_0 R_2}$
   • 球壳： $V_{\text{shell}} = \frac{Q + q}{4\pi\epsilon_0 R_2}$
   • 电势差： $\Delta V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right)$

2. 将球壳接地后的电势差：

   $$\Delta V = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R_1} \right)$$

3. 用导线连接后的电势差：

   $$\Delta V = 0$$