logoChat01.ai

极坐标转换与求解

创建于：2024年12月12日

使用 O1 回答 Chat01

问题

在平面直角坐标系 xOyxOy 中, 以坐标原点 OO 为极点, xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 CC 的极坐标方程为ρ=ρcosθ+1\rho=\rho cos\theta+1.
(1)写出 CC 的直角坐标方程;
(2)直线{x=ty=t+a\begin{cases}x=t\\y=t+a\end{cases} (tt为参数)与曲线 CC 交于 AA、BB 两点, 若∣AB∣=2|AB|=2, 求 aa 的值.

思考

将极坐标转换为笛卡尔坐标

我正在将极坐标方程 ρ=ρcos⁡θ+1\rho = \rho \cos \theta + 1 转换为笛卡尔坐标方程。经过简化和重排，得到 ρ=11−cos⁡θ\rho = \frac{1}{1 - \cos \theta}。现在，我需要找到如何将其转换为常见的 xx 和 yy 表达式。

转换方程

我正在通过代入极坐标表达式 x=ρcos⁡θx = \rho \cos \theta 和 y=ρsin⁡θy = \rho \sin \theta，将极坐标方程 ρ=11−cos⁡θ\rho = \frac{1}{1 - \cos \theta} 转换为笛卡尔坐标形式，最终得到 y2=2x+1y^2 = 2x + 1。

推导交点

将直线 x=tx = t 和 y=t+ay = t +a 代入曲线 y2=2x+1y^2 = 2x + 1，得到二次方程。求解 tAt_A 和 tBt_B 并计算距离 ∣AB∣|AB| 为 2。

寻找交点之间的差

正在进行根之间差的计算，结果是 2\sqrt{2}。这让我想到，平方和展开后可以得到 (2a−2)2−4(a2−1)(2a - 2)^2 - 4(a^2 - 1)。

思考，持续 14 秒

回答

我们需要解决以下两个部分的问题：

(1) 将极坐标方程转换为直角坐标方程

给定曲线 CC 的极坐标方程为：

ρ=ρcos⁡θ+1\rho = \rho \cos \theta + 1

将其重新整理：

ρ−ρcos⁡θ=1⇒ρ(1−cos⁡θ)=1⇒ρ=11−cos⁡θ\rho - \rho \cos \theta = 1 \quad \Rightarrow \quad \rho (1 - \cos \theta) = 1 \quad \Rightarrow \quad \rho = \frac{1}{1 - \cos \theta}

转换为直角坐标系，使用以下关系：

x=ρcos⁡θ,y=ρsin⁡θ,ρ=x2+y2x = \rho \cos \theta, \quad y = \rho \sin \theta, \quad \rho = \sqrt{x^2 + y^2}

代入得到：

x2+y2=11−xx2+y2\sqrt{x^2 + y^2} = \frac{1}{1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 + y^2}}}

简化方程：

x2+y2=x+1\sqrt{x^2 + y^2} = x + 1

两边平方：

x2+y2=(x+1)2⇒x2+y2=x2+2x+1x^2 + y^2 = (x + 1)^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = x^2 + 2x + 1

消去 x2x^2：

y2=2x+1y^2 = 2x + 1

因此，直角坐标方程为：

y2=2x+1y^2 = 2x + 1

(2) 求参数 aa 的值

直线的参数方程为：

{x=ty=t+a\begin{cases} x = t \\ y = t + a \end{cases}

将其代入曲线方程 y2=2x+1y^2 = 2x + 1：

(t+a)2=2t+1(t + a)^2 = 2t + 1

展开并整理：

t2+2at+a2=2t+1⇒t2+(2a−2)t+(a2−1)=0t^2 + 2at + a^2 = 2t + 1 \quad \Rightarrow \quad t^2 + (2a - 2)t + (a^2 - 1) = 0

这是一个关于 tt 的二次方程，其两根对应于交点 AA 和 BB。设两根为 tAt_A 和 tBt_B，则两点间距离为：

∣AB∣=(tB−tA)2+(tB−tA)2=∣tB−tA∣2|AB| = \sqrt{(t_B - t_A)^2 + (t_B - t_A)^2} = |t_B - t_A| \sqrt{2}

已知 ∣AB∣=2|AB| = 2，所以：

∣tB−tA∣2=2⇒∣tB−tA∣=2|t_B - t_A| \sqrt{2} = 2 \quad \Rightarrow \quad |t_B - t_A| = \sqrt{2}

根据二次方程根的性质：

∣tB−tA∣=(2a−2)2−4(a2−1)=8a−6=2|t_B - t_A| = \sqrt{(2a - 2)^2 - 4(a^2 - 1)} = \sqrt{8a - 6} = \sqrt{2}

平方后得到：

8a−6=2⇒8a=8⇒a=18a - 6 = 2 \quad \Rightarrow \quad 8a = 8 \quad \Rightarrow \quad a = 1

注意：这里有一个计算错误。正确的推导如下：

二次方程的判别式应为：

(2a−2)2−4(a2−1)=4a2−8a+4−4a2+4=−8a+8(2a - 2)^2 - 4(a^2 - 1) = 4a^2 - 8a + 4 - 4a^2 + 4 = -8a + 8

设其等于 (2)2=2(\sqrt{2})^2 = 2：

−8a+8=2⇒−8a=−6⇒a=68=34-8a + 8 = 2 \quad \Rightarrow \quad -8a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}

最终答案

  1. 曲线 CC 的直角坐标方程为 y2=2x+1y^2 = 2x + 1；
  2. 参数 aa 的值为 34\frac{3}{4}。

分享这个问答