水平渐近线解题过程

当然，以下是关于函数 $y = \frac{\sin x}{x}$ 的水平渐近线的详细解题过程：

1. 理解水平渐近线

水平渐近线是指当自变量 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，函数 $y = f(x)$ 的值趋近于某一固定数 $L$。也就是说，如果满足以下条件之一：

$$\lim_{x \to \infty} f(x) = L \quad \text{或} \quad \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$$

那么直线 $y = L$ 就是函数 $f(x)$ 的水平渐近线。

2. 分析函数 $y = \frac{\sin x}{x}$

我们需要求解以下两个极限：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} \quad \text{和} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{\sin x}{x}$$

3. 计算极限

性质：

• 正弦函数的取值范围在 $[-1, 1]$ 之间，即 $-1 \leq \sin x \leq 1$。
• 当 $x$ 的绝对值趋近于无穷大时，分母 $x$ 的绝对值也趋近于无穷大。

应用夹逼定理（夹挤定理）： 由于 $-1 \leq \sin x \leq 1$，所以：

$$-\frac{1}{x} \leq \frac{\sin x}{x} \leq \frac{1}{x}$$

当 $x \to \infty$ 或 $x \to -\infty$ 时，$\frac{1}{x}$ 和 $-\frac{1}{x}$ 都趋近于 0。因此，根据夹逼定理：

$$\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0 \quad \text{和} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{\sin x}{x} = 0$$

4. 确定水平渐近线

由于以上两个极限都等于 0，因此函数 $y = \frac{\sin x}{x}$ 的水平渐近线为：

$$y = 0$$

5. 总结

通过分析函数 $y = \frac{\sin x}{x}$ 的极限，当 $x$ 趋近于正无穷或负无穷时，函数值趋近于 0。因此，$y = 0$ 是该函数的水平渐近线。