正八面体概率问题

我们有一个正八面体，其八个面分别标有数字1到8，每个面朝上的概率相等，即每个面的概率为 $\frac{1}{8}$。

定义事件：

• $A = \{2, 4, 6, 8\}$，所以 $P(A) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
• $B = \{5, 6, 7, 8\}$，所以 $P(B) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
• 事件 $C$ 是我们需要确定的事件。

条件要求：

1. $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$
2. $P(B \cap C) \neq P(B)P(C)$

首先，计算 $A \cap B = \{6, 8\}$，所以 $P(A \cap B \cap C) = \frac{|C \cap \{6, 8\}|}{8}$。

根据第一个条件：

$$\frac{|C \cap \{6, 8\}|}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)P(C) \Rightarrow |C \cap \{6, 8\}| = \frac{|C|}{4}$$

这意味着 $|C|$ 必须是4的倍数。因此，$|C|$ 只能是4（因为0和8都不满足第二个条件）。

接下来，考虑 $|C| = 4$ 且 $|C \cap \{6, 8\}| = 1$。这意味着 $C$ 中有1个元素来自 $\{6, 8\}$，其余3个元素来自 $\{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$。

为了满足第二个条件 $P(B \cap C) \neq P(B)P(C)$，即 $|B \cap C| \neq 2$，需要 $|C \cap \{5, 7\}| \neq 1$。因此，$|C \cap \{5, 7\}|$ 可以是0或2。

具体计算：

• 选择1个来自 $\{6, 8\}$：有 $\binom{2}{1} = 2$ 种方式。
• 如果 $|C \cap \{5, 7\}| = 0$，则从 $\{1, 2, 3, 4\}$ 选择3个，有 $\binom{4}{3} = 4$ 种方式。
• 如果 $|C \cap \{5, 7\}| = 2$，则从 $\{5, 7\}$ 选择2个，并从 $\{1, 2, 3, 4\}$ 选择1个，有 $\binom{2}{2} \times \binom{4}{1} = 4$ 种方式。

因此，总共有：

$$2 \times (4 + 4) = 16 \text{ 个满足条件的事件 } C$$

答案：16

问题分析

袋中有10个黑球与5个白球，共15个球。掷一枚公平骰子，结果为1至6点，每点数的概率为1/6。如果掷出点数为$k$，则从袋中取出$k$个球。我们关心的是在已知取出的球全为白球的情况下，掷出3点的概率。

记事件：

• $D_k$: 掷得点数为$k$。
• $W$: 取出的球全部为白球。

我们要求 $P(D_3 | W)$。

根据贝叶斯定理：

$$P(D_3 | W) = \frac{P(D_3 \cap W)}{P(W)}.$$

步骤1：计算 $P(W | D_k)$

当掷出点数为$k$时，从15个球中取出$k$个。袋中有5个白球和10个黑球，取出的$k$个球全为白球的概率为：

$$P(W | D_k) = \frac{\binom{5}{k}}{\binom{15}{k}}$$

若 $k > 5$ 则不可能全部取白球，故当$k=6$时，该概率为0。

让我们计算从1到6的值（只对$k \leq 5$有意义）：

1. $k=1$:

$$P(W|D_1) = \frac{\binom{5}{1}}{\binom{15}{1}} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}.$$

2. $k=2$:

$$P(W|D_2) = \frac{\binom{5}{2}}{\binom{15}{2}} = \frac{10}{\frac{15 \cdot 14}{2}} = \frac{10}{105} = \frac{2}{21}.$$

3. $k=3$:

$$P(W|D_3) = \frac{\binom{5}{3}}{\binom{15}{3}} = \frac{10}{455} = \frac{2}{91}.$$

4. $k=4$:

$$P(W|D_4) = \frac{\binom{5}{4}}{\binom{15}{4}} = \frac{5}{1365} = \frac{1}{273}.$$

5. $k=5$:

$$P(W|D_5) = \frac{\binom{5}{5}}{\binom{15}{5}} = \frac{1}{3003}.$$

6. $k=6$:

$$P(W|D_6) = 0 \quad (\text{因为没有足够的白球}).$$

步骤2：计算 $P(W)$

由于掷骰子各点数等可能且独立，$P(D_k)=\frac{1}{6}$，所以：

$$P(W) = \sum_{k=1}^{6} P(D_k) P(W|D_k) = \frac{1}{6}\left(P(W|D_1)+P(W|D_2)+P(W|D_3)+P(W|D_4)+P(W|D_5)+P(W|D_6)\right).$$

代入计算：

$$P(W) = \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{2}{21} + \frac{2}{91} + \frac{1}{273} + \frac{1}{3003} + 0\right).$$

将这些分数通分或逐步求和（为方便精确性，我们最终化简结果即可）：

先找到最终和的最简结果，这里给出化简后的最终结果（计算过程略）：

综合化简后，可得：

$$P(W) = \frac{5}{66}.$$

（详细化简可参考过程，但最终结果经检验为5/66）

步骤3：计算 $P(D_3 \cap W)$

$$P(D_3 \cap W) = P(D_3)P(W|D_3) = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{91} = \frac{2}{546} = \frac{1}{273}.$$

步骤4：使用贝叶斯定理

$$P(D_3|W) = \frac{P(D_3 \cap W)}{P(W)} = \frac{\frac{1}{273}}{\frac{5}{66}} = \frac{1}{273} \times \frac{66}{5} = \frac{66}{1365}.$$

将$\frac{66}{1365}$化简：
$1365 = 3 \times 455$且$66 = 6 \times 11$，继续看455与66的公因子：

$$1365 = 3 \times 5 \times 7 \times 13,\quad 66= 2 \times 3 \times 11.$$

约分3后：

$$\frac{66}{1365} \div 3 = \frac{22}{455}.$$

22与455无更大公因子（455 = 5713，没有2或11），故最终结果为：

$$P(D_3|W) = \frac{22}{455}.$$

最终答案：$\boxed{\frac{22}{455}}$