量子态期望值计算

问题描述：

考虑一个两量子比特的量子态： $|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}}|01⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}}|10⟩$

要求计算以下算符在该状态下的期望值，其中 $Z$ 和 $X$ 是泡利矩阵：

解答步骤：

首先，回顾泡利矩阵 $Z$ 和 $X$ ：

Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

步骤 1：计算 $⟨Z \otimes Z⟩$

计算期望值的公式为：

⟨Z \otimes Z⟩ = ⟨Q| (Z \otimes Z) |Q⟩

计算 $(Z \otimes Z)|Q⟩$ ：

(Z \otimes Z)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (Z|0⟩) \otimes (Z|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} (Z|1⟩) \otimes (Z|0⟩)

利用 $Z|0⟩ = |0⟩$ ， $Z|1⟩ = -|1⟩$ ，得到：

(Z \otimes Z)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} |0⟩ \otimes (-|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} (-|1⟩) \otimes |0⟩ = -|Q⟩

因此，期望值为：

⟨Z \otimes Z⟩ = ⟨Q| (-|Q⟩) = -⟨Q|Q⟩ = -1

步骤 2：计算 $⟨Z \otimes X⟩$

计算 $(Z \otimes X)|Q⟩$ ：

(Z \otimes X)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (Z|0⟩) \otimes (X|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} (Z|1⟩) \otimes (X|0⟩)

利用 $Z|0⟩ = |0⟩$ ， $Z|1⟩ = -|1⟩$ ， $X|0⟩ = |1⟩$ ， $X|1⟩ = |0⟩$ ，得到：

(Z \otimes X)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} |0⟩ \otimes |0⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} (-|1⟩) \otimes |1⟩

由于 $|Q⟩$ 中不包含 $|00⟩$ 和 $|11⟩$ 项，因此期望值为：

⟨Z \otimes X⟩ = ⟨Q| (Z \otimes X) |Q⟩ = 0

步骤 3：计算 $⟨X \otimes Z⟩$

计算 $(X \otimes Z)|Q⟩$ ：

(X \otimes Z)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (X|0⟩) \otimes (Z|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} (X|1⟩) \otimes (Z|0⟩)

计算得：

(X \otimes Z)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} |1⟩ \otimes (-|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} |0⟩ \otimes |0⟩

同理，期望值为：

⟨X \otimes Z⟩ = ⟨Q| (X \otimes Z) |Q⟩ = 0

步骤 4：计算 $⟨X \otimes X⟩$

计算 $(X \otimes X)|Q⟩$ ：

(X \otimes X)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} (X|0⟩) \otimes (X|1⟩) + \sqrt{\frac{2}{3}} (X|1⟩) \otimes (X|0⟩)

计算得：

(X \otimes X)|Q⟩ = \frac{1}{\sqrt{3}} |1⟩ \otimes |0⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} |0⟩ \otimes |1⟩

计算期望值：

⟨X \otimes X⟩ = ⟨Q| (X \otimes X) |Q⟩ = \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \langle 01| + \sqrt{\frac{2}{3}} \langle 10| \right) \left( \frac{1}{\sqrt{3}} |10⟩ + \sqrt{\frac{2}{3}} |01⟩ \right)

展开并计算内积：

⟨X \otimes X⟩ = 2 \times \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{\frac{2}{3}} \right) = \frac{2\sqrt{2}}{3}

总结：

通过以上步骤，我们计算出了给定量子态下各个算符的期望值。

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