曼哈顿网格简介

曼哈顿网格（Manhattan Grid）是指美国纽约市曼哈顿区的城市规划结构。这个网格系统主要是由东西走向的街道（streets）和南北走向的大道（avenues）组成的，形成了规则的矩形网格。这种城市规划方式源自1811年纽约市的“1811年委员会规划”（Commissioner's Plan of 1811），目的是为了更高效地利用土地，便于城市扩展。

曼哈顿的网格系统有以下一些特点：

1. 东西向的街道（Streets）：街道通常编号为序号（如14th Street），数字越大越靠北，较低数字的街道位于南部。

2. 南北向的大道（Avenues）：大道主要是以名称或数字命名（如Fifth Avenue, Sixth Avenue）。数字越小的大道越靠东。

3. 街区的标准化：在许多情况下，曼哈顿的一个街区（block）是非常标准的矩形区域，东西向的街区通常较短，南北向的街区较长。

4. 中央公园：位于曼哈顿中央，是打破网格结构的一个巨大绿地。

曼哈顿网格系统的优点包括便于导航和方向感清晰，尤其对于游客来说十分便利，但也因为它的规则性，有时在交通流动和城市美学方面受到一定的批评。

分支限界法（Branch and Bound）是一种用于解决组合优化问题的算法框架，尤其适用于求解在搜索空间内找到最优解的问题，如整数规划、旅行商问题、背包问题等。它通过系统性地探索解的搜索空间，同时利用“限界”技巧减少不必要的搜索，从而提高效率。

分支限界法的核心思想

1. 分支（Branching）：

   • 在分支限界法中，将问题的解空间逐步分解成更小的子问题。
   • 每次“分支”时，将当前问题划分成多个子问题，并对每个子问题分别求解。这样可以构造一个解的搜索树，每个分支代表一个子问题。

2. 限界（Bounding）：

   • 为了避免搜索树中所有可能的分支，分支限界法引入了“限界”的概念。限界是指通过评估当前分支中解的上界和下界，确定是否继续搜索某个分支。
   • 如果某个子问题的最优解无法超过当前已知的最优解，那么可以剪枝，避免进一步对这个子问题进行搜索。

3. 剪枝（Pruning）：

   • 剪枝是通过限界来减少不必要的搜索。当确定一个分支不可能产生更优解时，可以将其从搜索中排除。
   • 剪枝可以极大地减少计算量，因为它排除了大量不需要探索的子问题。

分支限界法的流程

1. 初始问题的建立：从问题的初始状态开始，计算出初始解。
2. 分支策略：将问题分成若干个子问题。
3. 限界计算：对每个子问题计算上下界。
4. 选择策略：根据限界，选择下一个要分支的子问题。
5. 剪枝策略：如果某个子问题无法提供比当前最优解更好的结果，则对其进行剪枝。
6. 终止条件：当所有子问题都被处理或剪枝时，算法结束，找到最优解。

应用场景

分支限界法通常应用于需要在离散解空间中寻找最优解的问题，比如：

• 旅行商问题（TSP）：寻找访问一组城市的最短路径。
• 背包问题：在重量有限的情况下选择收益最高的物品组合。
• 整数线性规划问题：在整数约束下求解线性规划问题。

算法的优缺点

• 优点：分支限界法可以求出问题的全局最优解。对于许多难以解决的组合优化问题，它提供了一种系统的搜索方式，并通过剪枝有效地减少了计算量。
• 缺点：由于需要探索整个解空间，尽管剪枝可以减少一部分搜索量，但对于大规模问题，分支限界法仍然可能会非常耗时。

总结来说，分支限界法是一种框架，它将问题的解空间逐步分解成子问题，并通过限界和剪枝的策略避免不必要的计算，从而高效地找到最优解。