решить

Решим все пункты. Здесь в основном используются прямоугольные треугольники с углами $30^\circ$, $45^\circ$ и формулы

$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\qquad \tan30^\circ=\frac1{\sqrt3},\qquad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

а)

Пусть диагональ равна $y$.

В первом прямоугольном треугольнике гипотенуза равна $8$, угол $30^\circ$:

$$y=8\cos30^\circ =8\cdot\frac{\sqrt3}{2} =4\sqrt3.$$

Во втором прямоугольном треугольнике:

$$x=y\cos30^\circ =4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =6.$$ $$\boxed{x=6}$$

б)

Левая вертикальная сторона равна $5$, наклонная сторона — $3$.

Угол $120^\circ$ с вертикалью вниз означает угол $60^\circ$ с вертикалью вверх.

Вертикальная составляющая стороны длиной $3$:

$$3\cos60^\circ=3\cdot\frac12=1{,}5.$$

Поэтому

$$x=5+1{,}5=6{,}5.$$ $$\boxed{x=6{,}5}$$

в)

Сначала найдём высоту $h$. В левом прямоугольном треугольнике:

$$\tan30^\circ=\frac{h}{6}.$$

Отсюда

$$h=6\tan30^\circ =6\cdot\frac1{\sqrt3} =2\sqrt3.$$

В правом треугольнике:

$$\tan30^\circ=\frac{x}{h}.$$

Значит

$$x=h\tan30^\circ =2\sqrt3\cdot\frac1{\sqrt3} =2.$$ $$\boxed{x=2}$$

г)

В верхнем прямоугольном треугольнике сторона $6$ прилежит к углу $30^\circ$.

Диагональ:

$$y=6\tan30^\circ =\frac6{\sqrt3} =2\sqrt3.$$

Теперь во втором прямоугольном треугольнике $y$ — гипотенуза:

$$x=y\cos30^\circ =2\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =3.$$ $$\boxed{x=3}$$

д)

Здесь последовательно построено 8 прямоугольных треугольников, и каждый угол при общей вершине равен

$$\alpha=30^\circ.$$

При каждом переходе следующая «радиальная» сторона равна предыдущей, умноженной на $\cos30^\circ$.

Поэтому

$$x=12{,}8(\cos30^\circ)^8.$$

Подставляем:

$$x=12{,}8\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^8 =12{,}8\left(\frac34\right)^4.$$ $$x=12{,}8\cdot\frac{81}{256}=4{,}05.$$ $$\boxed{x=4{,}05}$$

е)

Начинаем с известного отрезка $3$ справа и идём к большой диагонали слева.

Последовательно встречаются углы

$$30^\circ,\ 45^\circ,\ 30^\circ,\ 45^\circ.$$

Если большая диагональ слева равна $y$, то

$$3=y\cos45^\circ\cos30^\circ \cos45^\circ\cos30^\circ.$$

Так как

$$\cos45^\circ\cos45^\circ=\frac12,$$

а

$$\cos30^\circ\cos30^\circ=\frac34,$$

получаем

$$3=y\cdot\frac12\cdot\frac34 =y\cdot\frac38.$$

Отсюда

$$y=8.$$

В крайнем левом прямоугольном треугольнике угол у центральной точки равен $30^\circ$, поэтому

$$x=y\sin30^\circ =8\cdot\frac12=4.$$ $$\boxed{x=4}$$

Ответ

$$\boxed{\text{а) }6;\quad \text{б) }6{,}5;\quad \text{в) }2;\quad \text{г) }3;\quad \text{д) }4{,}05;\quad \text{е) }4.}$$

По графику скорости:

$$v(t)= \begin{cases} 2\ \text{м/с},&0\le t<1,\\ -1\ \text{м/с},&1\le t<3,\\ 2\ \text{м/с},&3\le t<4,\\ -1\ \text{м/с},&4\le t\le5. \end{cases}$$

Начальная координата:

$$x_0=-1\text{ м}.$$

а) Закон движения $x(t)$

1. $0\le t\le1$:

$$x=x_0+vt=-1+2t.$$

При $t=1$:

$$x(1)=-1+2=1.$$

2. $1\le t\le3$:

Теперь $v=-1$ м/с:

$$x=1-(t-1)=2-t.$$

При $t=3$:

$$x(3)=2-3=-1.$$

3. $3\le t\le4$:

$$x=-1+2(t-3)=2t-7.$$

При $t=4$:

$$x(4)=1.$$

4. $4\le t\le5$:

$$x=1-(t-4)=5-t.$$

Итак,

$$\boxed{ x(t)= \begin{cases} -1+2t,&0\le t\le1,\\ 2-t,&1\le t\le3,\\ 2t-7,&3\le t\le4,\\ 5-t,&4\le t\le5. \end{cases}}$$

---

б) Графики координаты и пути

Для графика $x(t)$ удобно отметить точки:

$t$, с	0	1	2	3	4	5
$x$, м	-1	1	0	-1	1	0

Эти точки нужно соединить прямыми линиями.

Для пути $l(t)$ учитываем модуль скорости: путь всегда увеличивается.

$$l(t)= \begin{cases} 2t,&0\le t\le1,\\ 2+(t-1)=t+1,&1\le t\le3,\\ 4+2(t-3)=2t-2,&3\le t\le4,\\ 6+(t-4)=t+2,&4\le t\le5. \end{cases}$$

Точки для графика пути:

$t$, с	0	1	2	3	4	5
$l$, м	0	2	3	4	6	7

---

в) Перемещение и путь за первые $2$ с

За первую секунду:

$$s_1=2\cdot1=2\text{ м}.$$

За вторую секунду скорость отрицательна:

$$s_2=(-1)\cdot1=-1\text{ м}.$$

Поэтому перемещение:

$$s=s_1+s_2=2-1=1\text{ м}.$$ $$\boxed{s=1\text{ м}}$$

Путь складывается из модулей:

$$l=|2|+|-1|=3\text{ м}.$$ $$\boxed{l=3\text{ м}}$$

Ответ:

$$\boxed{s=1\text{ м},\qquad l=3\text{ м}}$$

А закон движения:

$$\boxed{ x(t)= \begin{cases} -1+2t,&0\le t\le1,\\ 2-t,&1\le t\le3,\\ 2t-7,&3\le t\le4,\\ 5-t,&4\le t\le5. \end{cases}}$$

Обозначим $AB=p$, $BC=q$. Тогда

$$p+q=AC=a.$$

Пусть $BM=m$. Рассмотрим центры описанных окружностей треугольников $AMB$ и $CMB$: $O_1$ и $O_2$.

Так как обе окружности проходят через точки $B$ и $M$, их центры $O_1,O_2$ лежат на одном и том же серединном перпендикуляре к $BM$. Поэтому $O_1O_2$ направлен перпендикулярно $BM$.

Теперь рассмотрим проекцию отрезка $O_1O_2$ на прямую $AC$.

Центр $O_1$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому его проекция на $AC$ находится в середине $AB$.

Аналогично проекция $O_2$ находится в середине $BC$.

Расстояние между этими проекциями:

$$\frac{AB}{2}+\frac{BC}{2} =\frac{AB+BC}{2} =\frac a2.$$

Угол между $BM$ и $BC$ равен $\alpha$. Так как $O_1O_2\perp BM$, угол между $O_1O_2$ и $AC$ равен $90^\circ-\alpha$ по модулю.

Следовательно,

$$O_1O_2\cos(90^\circ-\alpha)=\frac a2.$$

Так как

$$\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha,$$

получаем

$$\boxed{O_1O_2=\frac{a}{2\sin\alpha}}.$$

Теперь $a=5$, $\cos\alpha=-0.3$.

Находим $\sin\alpha$:

$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha} =\sqrt{1-0.09} =\sqrt{0.91} =\frac{\sqrt{91}}{10}.$$

Тогда

$$O_1O_2= \frac{5}{2\cdot\frac{\sqrt{91}}{10}} =\frac{25}{\sqrt{91}}.$$

Рационализируем:

$$\boxed{O_1O_2=\frac{25\sqrt{91}}{91}}$$

или приблизительно

$$\boxed{O_1O_2\approx2.62}.$$

Ответ:

$$\boxed{O_1O_2=\frac{a}{2\sin\alpha}},\qquad \boxed{O_1O_2=\frac{25}{\sqrt{91}}\approx2.62}.$$

Пусть основание равнобедренного треугольника равно $a$, а угол при основании — $\alpha$.

Высота, проведённая к основанию, делит основание пополам:

$$\frac a2.$$

Из прямоугольного треугольника:

$$h=\frac a2\tan\alpha.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 ah =\frac12a\cdot\frac a2\tan\alpha =\frac{a^2}{4}\tan\alpha.$$

Боковая сторона:

$$b=\frac{a}{2\cos\alpha}.$$

Полупериметр:

$$p=\frac{a+2b}{2} =\frac a2+\frac{a}{2\cos\alpha} =\frac{a(1+\cos\alpha)}{2\cos\alpha}.$$

Используем формулу

$$S=rp,$$

откуда

$$r=\frac Sp.$$

Подставляем:

$$r= \frac{\frac{a^2}{4}\tan\alpha} {\frac{a(1+\cos\alpha)}{2\cos\alpha}} = \frac{a\sin\alpha}{2(1+\cos\alpha)}.$$

Так как

$$\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha} =\tan\frac{\alpha}{2},$$

получаем:

$$\boxed{r=\frac a2\tan\frac{\alpha}{2}}.$$

Ответ:

$$\boxed{\displaystyle r=\frac a2\tan\frac{\alpha}{2}}$$