Реши 14-19

Ниже — решения 14–19.

---

14

Расположим пирамиду в координатах:

$$O(0,0,0),\quad S(0,0,3\sqrt7),$$ $$A(-3,-3,0),\ B(3,-3,0),\ C(3,3,0),\ D(-3,3,0).$$

Так как $AB=6$, основание — квадрат со стороной 6.

Точка $M$ — середина $SC$, значит

$$M\left(\frac32,\frac32,\frac{3\sqrt7}{2}\right).$$

Точка $K$ делит $BC$ в отношении $BK:KC=2:1$, значит

$$K=(3,1,0).$$

а) Доказать, что плоскость $OMK$ параллельна $SA$

Вектор

$$\overrightarrow{OM}=\left(\frac32,\frac32,\frac{3\sqrt7}{2}\right).$$

Вектор

$$\overrightarrow{SA}=(-3,-3,-3\sqrt7).$$

Видно, что

$$\overrightarrow{OM}=-\frac12\,\overrightarrow{SA}.$$

Значит, $OM\parallel SA$. Так как прямая $OM$ лежит в плоскости $OMK$, то плоскость $OMK\parallel SA$.

б) Найти длину отрезка пересечения плоскости $OMK$ с гранью $SAD$

Так как плоскость $OMK\parallel SA$, то в грани $SAD$ она дает отрезок, параллельный $SA$.

Найдём уравнение плоскости $OMK$.
Векторы:

$$\overrightarrow{OM}=\left(\frac32,\frac32,\frac{3\sqrt7}{2}\right),\quad \overrightarrow{OK}=(3,1,0).$$

После вычисления получаем уравнение плоскости:

$$\sqrt7\,x-3\sqrt7\,y+6z=0.$$

Параметрическое задание грани $SAD$:

$$A+s\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AS},$$

где

$$\overrightarrow{AD}=(0,6,0),\quad \overrightarrow{AS}=(3,3,3\sqrt7).$$

Подстановка в уравнение плоскости даёт

$$s=\frac13.$$

Значит, линия пересечения в грани $SAD$ имеет вид

$$A+\frac13\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AS}.$$

Чтобы точка оставалась внутри треугольника $SAD$, нужно

$$0\le t\le \frac23.$$

Следовательно, длина искомого отрезка равна

$$\frac23\cdot |AS|.$$

Найдём $AS$:

$$AS=\sqrt{AO^2+SO^2}=\sqrt{(3\sqrt2)^2+(3\sqrt7)^2}=\sqrt{18+63}=9.$$

Значит,

$$\frac23\cdot 9=6.$$

Ответ: а) $OMK\parallel SA$;
б) искомая длина равна $\boxed6$.

---

15

Решить неравенство

$$\frac{2^x+8}{2^x-8}+\frac{2^x-8}{2^x+8}\ge \frac{2^{x+4}+96}{4^x-64}.$$

Положим

$$t=2^x,\quad t>0,\quad t\ne 8.$$

Тогда

$$\frac{t+8}{t-8}+\frac{t-8}{t+8} = \frac{(t+8)^2+(t-8)^2}{t^2-64} = \frac{2t^2+128}{t^2-64}.$$

Правая часть:

$$\frac{16t+96}{t^2-64}.$$

Получаем

$$\frac{2t^2+128-(16t+96)}{t^2-64}\ge 0,$$ $$\frac{2t^2-16t+32}{t^2-64}\ge 0,$$ $$\frac{2(t-4)^2}{(t-8)(t+8)}\ge 0.$$

Числитель неотрицателен и равен 0 только при $t=4$.
Знаменатель положителен при $t>8$, отрицателен при $0<t<8$.

Значит, неравенство выполняется при:

• $t=4$;
• $t>8$.

Возвращаемся к $x$:

$$2^x=4 \Rightarrow x=2,$$ $$2^x>8 \Rightarrow x>3.$$

Ответ:

$$\boxed{x=2\ \text{или}\ x>3}.$$

---

16

Пусть в июле 2026 года взяли кредит $S$ тыс. руб.

Каждый январь долг увеличивается на 30%, то есть умножается на $1.3$.

• к январю 2027: $1.3S$,
• после платежа 300 в 2027: $1.3S-300$,
• к январю 2028: $1.3(1.3S-300)$,
• после платежа 300 в 2028: $1.3(1.3S-300)-300$,
• к январю 2029:

$$1.3\bigl(1.3(1.3S-300)-300\bigr).$$

В июле 2029 выплачивают 860,6 тыс. руб. и долг становится нулём:

$$1.3\bigl(1.3(1.3S-300)-300\bigr)=860.6.$$

Считаем:

$$1.3S-300,$$ $$1.3(1.3S-300)=1.69S-390,$$ $$1.69S-390-300=1.69S-690,$$ $$1.3(1.69S-690)=2.197S-897.$$

Значит,

$$2.197S-897=860.6,$$ $$2.197S=1757.6,$$ $$S=800.$$

Ответ: $\boxed{800\text{ тыс. руб.}}$

---

17

Пусть

• $C_1\in AB$, $AC_1:C_1B=7:12$,
• $A_1\in BC$, $BA_1:A_1C=3:1$,
• $B_1\in AC$, $AB_1:B_1C=3:4$.

Примем векторно:

$$A=\vec 0,\quad B=\vec b,\quad C=\vec c.$$

Тогда

$$C_1=\frac7{19}\vec b, \qquad A_1=\frac14\vec b+\frac34\vec c, \qquad B_1=\frac37\vec c.$$

Точка $D$ — пересечение $BB_1$ и $CC_1$.

Найдём $D$

На прямой $BB_1$:

$$D=(1-t)\vec b+t\cdot \frac37\vec c.$$

На прямой $CC_1$:

$$D=s\cdot \frac7{19}\vec b+(1-s)\vec c.$$

Приравнивая коэффициенты, получаем

$$t=\frac34,\qquad s=\frac{19}{28}.$$

Следовательно,

$$D=\frac14\vec b+\frac9{28}\vec c.$$

---

а) Доказать, что $ADA_1B_1$ — параллелограмм

Посчитаем:

$$A_1-B_1= \left(\frac14\vec b+\frac34\vec c\right)-\frac37\vec c = \frac14\vec b+\frac9{28}\vec c = D.$$

Так как $A=\vec0$, то

$$\overrightarrow{AD}=D=A_1-B_1=\overrightarrow{B_1A_1}.$$

Значит,

$$AD\parallel A_1B_1.$$

Кроме того,

$$\overrightarrow{DA_1}=A_1-D = \left(\frac14\vec b+\frac34\vec c\right)-\left(\frac14\vec b+\frac9{28}\vec c\right) = \frac37\vec c = \overrightarrow{AB_1}.$$

Следовательно,

$$DA_1\parallel AB_1.$$

Итак, противоположные стороны попарно параллельны, значит $ADA_1B_1$ — параллелограмм.

---

б) Найти $CD$, если $AD\perp BC$, $AC=21$, $BC=16$

Положим

$$A=(0,0),\quad C=(21,0),\quad B=(x,y).$$

Тогда

$$D=\frac14 B+\frac9{28}C = \left(\frac x4+\frac{27}4,\frac y4\right).$$

Условие $AD\perp BC$ даёт

$$\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{BC}=0.$$

То есть

$$\left(\frac x4+\frac{27}4,\frac y4\right)\cdot(21-x,-y)=0.$$

После умножения на 4:

$$(x+27)(21-x)-y^2=0. \tag{1}$$

Ещё известно:

$$BC=16 \Rightarrow (21-x)^2+y^2=256. \tag{2}$$

Складывая (1) и (2), получаем:

$$(21-x)^2+(x+27)(21-x)=256,$$ $$(21-x)\bigl((21-x)+(x+27)\bigr)=256,$$ $$48(21-x)=256,$$ $$21-x=\frac{16}3.$$

Значит,

$$x=\frac{47}3.$$

Из (2):

$$y^2=256-\left(\frac{16}3\right)^2 = 256-\frac{256}{9} = \frac{2048}{9}.$$

Теперь

$$D=\left(\frac{32}3,\frac y4\right), \quad C=(21,0).$$

Тогда

$$CD^2=\left(21-\frac{32}3\right)^2+\left(\frac y4\right)^2 = \left(\frac{31}3\right)^2+\frac1{16}\cdot \frac{2048}{9} = \frac{961}{9}+\frac{128}{9} = \frac{1089}{9}=121.$$ $$CD=11.$$

Ответ:
а) $ADA_1B_1$ — параллелограмм;
б) $\boxed{CD=11}$.

---

18

Найти все $a$, при которых система

$$\begin{cases} 2x+2ay+a-3=0,\\ x|y|+2x-3=0 \end{cases}$$

имеет единственное решение.

Из второго уравнения:

$$x(|y|+2)=3 \Rightarrow x=\frac3{|y|+2}>0.$$

Рассмотрим два случая.

1) $y\ge 0$

Тогда $|y|=y$, и

$$\frac3{y+2}+ay=\frac{3-a}{2}.$$

После преобразований:

$$2ay^2+(5a-3)y+2a=0. \tag{1}$$

2) $y<0$

Положим $t=-y>0$. Тогда $|y|=t$, и получаем

$$\frac3{t+2}-at=\frac{3-a}{2},$$ $$2at^2+3(a+1)t-2a=0. \tag{2}$$

Исследуем (2)

При $a\ne 0$ произведение корней:

$$\frac{-2a}{2a}=-1,$$

значит один корень положительный, другой отрицательный.
Следовательно, для любого $a\ne0$ уравнение (2) имеет ровно один положительный корень $t$, то есть ровно одно решение с $y<0$.

При $a=0$ уравнение (2) решений $t>0$ не имеет.

Значит:

• если $a\ne0$, уже есть одно решение с $y<0$;
• чтобы решение было единственным, уравнение (1) не должно иметь решений при $y\ge0$.

Исследуем (1)

$$2ay^2+(5a-3)y+2a=0.$$

Его дискриминант:

$$\Delta=(5a-3)^2-16a^2=9a^2-30a+9=3(3a-1)(a-3).$$

• Если $a<0$, то свободный член $2a<0$, произведение корней $=1>0$, сумма корней отрицательна, значит оба корня отрицательны.
  Следовательно, при $y\ge0$ решений нет.

• Если $0<a\le \frac13$, то имеются неотрицательные корни, значит решений больше одного.

• Если $a>\frac13$, то неотрицательных корней нет.

• При $a=0$: из первого уравнения $2x-3=0\Rightarrow x=\frac32$, из второго тогда $|y|=0\Rightarrow y=0$. Получаем одно решение.

Итак, единственное решение система имеет при

$$a\le 0 \quad \text{или}\quad a>\frac13.$$

Ответ:

$$\boxed{a\in(-\infty,0]\cup\left(\frac13,+\infty\right)}.$$

---

19

Из пары $(a,b)$, где $a>b$, за один ход получают

$$(a+b,\ a-b).$$

---

а) Можно ли из $(50,9)$ получить пару, большее число в которой равно 200?

Посчитаем несколько ходов:

$$(50,9)\to (59,41),$$ $$(59,41)\to (100,18),$$ $$(100,18)\to (118,82),$$ $$(118,82)\to (200,36).$$

Да, можно.

Ответ: $\boxed{\text{да}}$.

---

б) Можно ли из $(50,9)$ получить $(408,370)$?

Обратный ход, если он существует, однозначен:

$$(u,v)\mapsto \left(\frac{u+v}{2},\frac{u-v}{2}\right).$$

Для пары $(408,370)$ обратный ход даёт

$$\left(\frac{408+370}{2},\frac{408-370}{2}\right)=(389,19).$$

Но числа $389$ и $19$ разной чётности, значит у пары $(389,19)$ нет предшественника в натуральных числах.
Следовательно, $(408,370)$ не может быть получена из $(50,9)$.

Ответ: $\boxed{\text{нет}}$.

---

в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a,b)$, из которой за несколько ходов можно получить $(408,370)$?

Как выше, единственный возможный предшественник пары $(408,370)$ — это

$$(389,19).$$

Дальше назад идти нельзя, потому что у $(389,19)$ суммы и разности пополам не дают целую пару одного шага назад.

Значит, наименьшее возможное первое число — это $389$.

Ответ: $\boxed{389}$.

---

Если хочешь, могу ещё оформить всё это в виде чистовика “как писать на экзамене”, без лишних пояснений.