диаметры сосудов равны 5см. длинна свинцового цили...

Найдём смещение цилиндра и изменение потенциальной энергии.

1. Геометрия и масса цилиндра

Диаметр $d = 5\text{ см} = 0{,}05\text{ м}$.

Площадь сечения всех сосудов (и цилиндра):

$$S = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{3{,}14\cdot 0{,}05^2}{4} \approx 1{,}9625\cdot10^{-3}\ \text{м}^2$$

Высота цилиндра $h = 10\text{ см} = 0{,}10\text{ м}$.

Объём цилиндра:

$$V = S h \approx 1{,}9625\cdot10^{-4}\ \text{м}^3$$

Плотность свинца $\rho_{Pb} = 11300\ \text{кг/м}^3$, значит

$$m = \rho_{Pb}V \approx 2{,}22\ \text{кг},\qquad mg \approx 22{,}18\ \text{Н}$$

2. Смещение цилиндра

Пусть цилиндр опускается на $x$, а уровень ртути в боковых сосудах поднимается на $h_1$.

Сохранение объёма ртути:

$$Sx = 2S h_1 \quad\Rightarrow\quad h_1 = \frac{x}{2}$$

После установления равновесия давление под цилиндром больше атмосферного на

$$\Delta P = \rho_{Hg}g(h_1 + x),$$

где $\rho_{Hg} = 13600\ \text{кг/м}^3$.

Сила, действующая снизу со стороны ртути на цилиндр:

$$F = S\Delta P = S\rho_{Hg}g(h_1 + x)$$

В равновесии эта сила уравновешивает вес цилиндра:

$$mg = S\rho_{Hg}g(h_1 + x)$$

Подставим $h_1 = x/2$:

$$mg = S\rho_{Hg}g\left(\frac{x}{2} + x\right) = S\rho_{Hg}g\frac{3x}{2}$$

Отсюда

$$x = \frac{2}{3}\frac{mg}{S\rho_{Hg}g} = \frac{2}{3}\frac{m}{S\rho_{Hg}}$$

Подставляя $m = \rho_{Pb}Sh$:

$$x = \frac{2}{3}\frac{\rho_{Pb}}{\rho_{Hg}}h = \frac{2}{3}\frac{11300}{13600}\cdot0{,}10 \approx 5{,}54\cdot10^{-2}\ \text{м}$$

3. Изменение потенциальной энергии

Потенциальная энергия цилиндра уменьшилась на

$$\Delta E_{\text{ц}} = mgx \approx 22{,}18\cdot 0{,}0554 \approx 1{,}23\ \text{Дж}$$

Ртуть: две боковые колонки стали выше на $h_1 = x/2$, центральная – ниже на $x$. Изменение потенциальной энергии ртути (вычисляем как для трёх столбов с площадью $S$):

$$\Delta E_{\text{рт}} = \rho_{Hg}gS\left(h_1^{\,2} + \frac{x^{2}}{2}\right) = \rho_{Hg}gS\frac{3x^{2}}{4}$$

Если подставить выражение для $x$, получается

$$\Delta E_{\text{рт}} = \frac{1}{2}mgx \approx 0{,}61\ \text{Дж}$$

Часть энергии падения цилиндра пошла на подъём ртути, остальная превратилась в тепло:

$$Q = \Delta E_{\text{ц}} - \Delta E_{\text{рт}} = mgx - \frac{1}{2}mgx = \frac{1}{2}mgx \approx 0{,}61\ \text{Дж}$$

Ответ:

$$\boxed{Q \approx 0{,}61\ \text{Дж}}$$

Обозначим натяжения нитей:

• левая нить $AKC$ — $T_1$,
• правая нить $BKD$ — $T_2$.

Массы всех грузов одинаковы и равны $m$.

1. Связь ускорений грузов и кольца

Пусть ускорение кольца вдоль горизонтали (вправо) равно $a_K$.

Из-за нерастяжимости нитей:

• для левой нити: оба её груза двигаются вертикально с ускорением

  $$a_L = -a_K\cos\alpha$$

  (знак «–» — при движении кольца вправо левый участок нити удлиняется, грузы поднимаются);

• для правой нити: грузы двигаются вертикально с ускорением

  $$a_R = a_K\cos\beta .$$

(ускорения положительны вниз.)

2. Уравнения движения грузов

Для каждого груза:

• слева: $mg - T_1 = m a_L = -m a_K\cos\alpha$;
• справа: $mg - T_2 = m a_R = m a_K\cos\beta$.

3. Условие равновесия сил на невесомом кольце

На кольцо действуют 4 силы натяжения. Вертикальные составляющие попарно компенсируются, а по горизонтали:

$$2T_2\cos\beta - 2T_1\cos\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta .$$

4. Решаем систему

Из трёх уравнений:

$$\begin{cases} mg - T_1 = -m a_K\cos\alpha,\\ mg - T_2 = m a_K\cos\beta,\\ T_1\cos\alpha = T_2\cos\beta, \end{cases}$$

получаем

$$a_K = \dfrac{g(\cos\beta - \cos\alpha)}{\cos^2\alpha + \cos^2\beta}.$$

Подставляем $\alpha=30^\circ$, $\beta=60^\circ$, $g=10\ \text{м/с}^2$:

$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos60^\circ=\frac12,$$ $$\cos^2 30^\circ + \cos^2 60^\circ = \frac34 + \frac14 = 1,$$ $$a_K = 10\,(0{,}5 - 0{,}866...) \approx -3{,}66\ \text{м/с}^2.$$

Минус показывает, что кольцо ускоряется влево (к стороне с меньшим углом).

По модулю:

$$|a_K| \approx 3{,}7\ \text{м/с}^2.$$

Ответ: $a_K \approx 3{,}7\ \text{м/с}^2$ (к кольцу тянет влево).