Дан равносторонний треугольник АВС, внутри которог...

Ответ:

$$\boxed{P = 4 - \dfrac{2\pi}{\sqrt3} \approx 0{,}372}$$

---

1. Координаты и условие тупоугольности

Пусть $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной 1, расположим его так:

$$A(0,0),\quad B(1,0),\quad C\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).$$

Точка $P(x,y)$ выбрана внутри треугольника.

Тогда

$$PA^2 = x^2 + y^2,$$ $$PB^2 = (x-1)^2 + y^2,$$ $$PC^2 = \Bigl(x-\tfrac12\Bigr)^2 + \Bigl(y-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr)^2.$$

Треугольник со сторонами $PA, PB, PC$ тупоугольный, если хотя бы для одной стороны выполняется

$$\text{(наибольшая сторона)}^2 > \text{сумма квадратов двух других}.$$

Например, тупой угол, «напротив» $PA$, соответствует неравенству

$$PA^2 > PB^2 + PC^2.$$

Рассмотрим сначала множество точек, для которых выполняется

$$PA^2 > PB^2 + PC^2.$$

Запишем уравнение границы:

$$PA^2 = PB^2 + PC^2.$$

Подставим выражения:

$$x^2 + y^2 = \bigl((x-1)^2 + y^2\bigr) + \Bigl(\bigl(x-\tfrac12\bigr)^2 + \bigl(y-\tfrac{\sqrt3}{2}\bigr)^2\Bigr).$$

Упростив, получаем

$$- x^2 + 3x - y^2 + \sqrt3\,y - 2 = 0.$$

Приведём к виду окружности. Перенесём всё в скобки:

$$x^2 + y^2 - 3x - \sqrt3\,y + 2 = 0.$$

Дополняя до квадратов,

$$(x-\tfrac32)^2 + (y-\tfrac{\sqrt3}{2})^2 = 1.$$

Это окружность радиуса 1 с центром в точке

$$O_A\Bigl(\tfrac32, \tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr).$$

Неравенство $PA^2 > PB^2 + PC^2$ означает, что $P$ находится внутри этой окружности.

Аналогично, неравенства

$$PB^2 > PA^2 + PC^2,\quad PC^2 > PA^2 + PB^2$$

дают ещё две такие же окружности радиуса 1 с центрами:

$$O_B\Bigl(-\tfrac12, \tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\quad O_C\Bigl(\tfrac12, -\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),$$

каждая проходит через две вершины исходного треугольника.

---

2. Геометрия областей тупых треугольников

Рассмотрим, например, окружность с центром $O_A$.
Она проходит через точки $B$ и $C$, причём треугольник $BO_AC$ — равносторонний со стороной 1.

Часть окружности, попадающая внутрь исходного треугольника $ABC$, — это малый круговой сегмент, ограниченный хордой $BC$ (сторона треугольника) и дугой окружности между $B$ и $C$.

Все точки $P$ внутри этого сегмента дают тупоугольный треугольник по неравенству $PA^2 > PB^2 + PC^2$.

Полная область тупых треугольников внутри $ABC$ — это объединение трёх одинаковых сегментов, по одному у каждой стороны.

Обозначим:

• $S_\triangle$ — площадь треугольника $ABC$,
• $S_{\text{seg}}$ — площадь одного такого кругового сегмента,
• $S_{\text{obt}}$ — суммарная площадь областей тупых треугольников.

Тогда

$$S_{\text{obt}} = 3 S_{\text{seg}}.$$

---

3. Площадь сегмента

В окружности радиуса $R = 1$:

• длина хорды $BC = 1$,
• значит, центральный угол $\theta$, который она стягивает, удовлетворяет $$1 = 2R \sin\frac{\theta}{2} = 2\sin\frac{\theta}{2} \Rightarrow \sin\frac{\theta}{2} = \frac12 \Rightarrow \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{6},$$ значит $\theta = \frac{\pi}{3}$.

Площадь кругового сегмента с углом $\theta$ и радиусом $R$ равна

$$S_{\text{seg}} = \frac{R^2}{2}\bigl(\theta - \sin\theta\bigr).$$

Подставим $R=1$, $\theta=\pi/3$:

$$S_{\text{seg}} = \frac12\left(\frac{\pi}{3} - \sin\frac{\pi}{3}\right) = \frac12\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right).$$

Тогда

$$S_{\text{obt}} = 3 S_{\text{seg}} = \frac{3}{2}\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt3}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt3}{4}.$$

Площадь равностороннего треугольника со стороной 1:

$$S_\triangle = \frac{\sqrt3}{4}.$$

---

4. Вероятность

Вероятность «тупого» случая:

$$P_{\text{туп}} = \frac{S_{\text{obt}}}{S_\triangle} = \frac{\frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt3}{4}}{\frac{\sqrt3}{4}} = \frac{4}{\sqrt3}\left(\frac{\pi}{2} - \frac{3\sqrt3}{4}\right) = \frac{2\pi}{\sqrt3} - 3.$$

Тогда вероятность, что треугольник с сторонами $AP, BP, CP$ — остроугольный:

$$P_{\text{остр}} = 1 - P_{\text{туп}} = 1 - \left(\frac{2\pi}{\sqrt3} - 3\right) = 4 - \frac{2\pi}{\sqrt3}.$$

Численно:

$$P_{\text{остр}} \approx 4 - \frac{2\cdot 3{,}1416}{1{,}732} \approx 0{,}372.$$

---

Итог: вероятность того, что из отрезков $AP, BP, CP$ можно составить остроугольный треугольник, равна

$$\boxed{4 - \dfrac{2\pi}{\sqrt3} \approx 0{,}372.}$$