Доказать, что если в определении коммутатора на ал...

Коротко: при определении скобки Ли через правоинвариантные векторные поля получается та же скобка, но со знаком минус относительно определения через левоинвариантные поля.

Доказательство

Пусть $G$ — Ли-группа, $\mathfrak g := T_eG$. Для $\xi\in\mathfrak g$ обозначим

• левоинвариантное поле: $X_\xi^{L}(g)=d(L_g)_e(\xi)$;
• правоинвариантное поле: $X_\xi^{R}(g)=d(R_g)_e(\xi)$.

Обычно скобку в $\mathfrak g$ определяют как

$$[\xi,\eta]_L := [X_\xi^{L},X_\eta^{L}](e).$$

Если же брать правоинвариантные поля, получим

$$[\xi,\eta]_R := [X_\xi^{R},X_\eta^{R}](e).$$

Нужно показать, что $[\xi,\eta]_R = -[\xi,\eta]_L$.

Рассмотрим обращение $\iota:G\to G$, $\iota(g)=g^{-1}$. Это диффеоморфизм, и его дифференциал в единице равен

$$d\iota_e = -\mathrm{id}_{\mathfrak g}.$$

Кроме того, для всякого $\xi\in\mathfrak g$ имеем связь лево/право-инвариантных полей через $\iota$:

$$(\iota)_* X_\xi^{L} = -\,\widetilde{X}_\xi^{R},$$

в том смысле, что для каждого $g\in G$

$$\big((\iota)_* X_\xi^{L}\big)(g) = d\iota_g\big(d(L_g)_e\xi\big) = d(R_{g^{-1}})_e\big(d\iota_e\,\xi\big) = -\,d(R_{g^{-1}})_e\xi,$$

то есть $(\iota)_* X_\xi^{L}$ — правоинвариантное поле (с параметром $\xi$) взято в точке $g^{-1}$ и с минусом.

Поскольку $\iota$ — диффеоморфизм, он сохраняет скобку Ли векторных полей:

$$(\iota)_*\,[X,Y] = [(\iota)_*X,(\iota)_*Y].$$

Применим это к $X=X_\xi^{L}$, $Y=X_\eta^{L}$ и возьмём значение в $e$:

$$d\iota_e\,\big([X_\xi^{L},X_\eta^{L}](e)\big) = \big[\,(\iota)_*X_\xi^{L},\,(\iota)_*X_\eta^{L}\,\big](e).$$

Левая часть равна $-[X_\xi^{L},X_\eta^{L}](e) = -[\xi,\eta]_L$ (так как $d\iota_e=-\mathrm{id}$). Правая часть — это скобка в $e$ двух правоинвариантных полей, соответствующих $-\xi$ и $-\eta$. Но скобка билинейна, и одновременная замена $\xi\mapsto-\xi$, $\eta\mapsto-\eta$ не меняет знак:

$$\big[\,(\iota)_*X_\xi^{L},(\iota)_*X_\eta^{L}\,\big](e) = \big[X_{-\xi}^{R},X_{-\eta}^{R}\big](e) = [\xi,\eta]_R.$$

Итак,

$$[\xi,\eta]_R = -[\xi,\eta]_L.$$

Это и требовалось доказать: определение по правоинвариантным полям даёт «противоположную» скобку на $\mathfrak g$.