好问题！“换上下限变号”本质是定积分带有方向（取向）。把区间方向从 $a\to b$ 反过来（$b\to a$），积分的“有向长度”变成了相反数，所以积分也随之变号。可以从三个角度看清楚：

1) 牛顿–莱布尼茨公式（原函数角度）

若 $F'(x)=f(x)$，则

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a).$$

交换上下限：

$$\int_b^a f(x)\,dx = F(a)-F(b)=-(F(b)-F(a))= -\int_a^b f(x)\,dx.$$

2) 黎曼和定义（本质原因）

定积分的黎曼和是

$$\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\,\Delta x_i,\quad \Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$$

当你把区间从 $a\to b$ 反向为 $b\to a$ 时，每个小段的长度 $\Delta x_i$ 都变为其相反数（因为方向反了），从而整和式整体乘以 $-1$。极限也就随之乘以 $-1$：

$$\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx.$$

3) 变量替换（对称变换）

令 $t=a+b-x$，则 $dt=-dx$，当 $x=a$ 时 $t=b$，当 $x=b$ 时 $t=a$：

$$\int_b^a f(x)\,dx=\int_{t=a}^{t=b} f(a+b-t)(-dt) = -\int_a^b f(a+b-t)\,dt.$$

若把 $t$ 换回 $x$（只是记号），得到 $-\int_a^b f(x)\,dx$。

直观图像

$\int_a^b f$ 是有向面积（上方为正、下方为负，并带区间方向）。把区间方向反过来，就像把有向线段翻转，数值取相反数。

小例子

$$\int_a^b 1\,dx = b-a,\qquad \int_b^a 1\,dx = a-b = -(b-a).$$

所以，交换上下限变号是因为定积分对区间方向敏感。