ok fait moi une fiche de revision pour que je comp...

Fiche de révision – Cinétique & Dynamique du solide (niveau S2)
(Objectif : savoir préparer et résoudre les exercices du TD de mécanique générale dynamique)

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1. Identifier et préparer le problème

1. Choisir le référentiel : on se place toujours dans un espace-temps galiléen, condition d’application du PFD.
2. Isoler le système matériel (solide ou ensemble de solides).
3. Lister les inconnues :
   • Cinématiques : positions, vitesses, accélérations.
   • Sthéniques : composantes des efforts de liaison .
4. Inventorier données géométriques & inertie (masses, positions des centres de gravité, matrices d’inertie).

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2. Opérateur et matrice d’inertie

• Moment d’inertie d’un système par rapport à un axe : $I_D(S)=\int_S \rho\,\vec{PP'}^{\,2}\,dm$ .
• Opérateur linéaire d’inertie $\mathbf I_O$ : application qui, à tout vecteur $\vec u$, associe $\int_S \vec{OP}\wedge(\vec u\wedge\vec{OP})\,dm$ ; il est symétrique et additif .
• Théorème de Koenig / Huygens : $\mathbf I_O = \mathbf I_G + m\,\mathbf{OG}^{\times}\mathbf{OG}^{\times}$ (produit vectoriel double) .
• Savoir passer d’une matrice d’inertie au centre de masse à une matrice en un point quelconque (ex. du touret) .

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3. Torseurs fondamentaux

Torseur	Résultante	Moment en A	Formules utiles
CINÉTIQUE $\left[\,V_0(S)\,\right]$	$\vec R_c = \int_S \vec v_P\,dm = m\,\vec V_G$	$\vec \sigma_c(A)=\int_S \vec{AP}\times\vec v_P\,dm$	Pour un solide : $\vec \sigma_c(G)=\mathbf I_G\!\cdot\!\vec\Omega$
DYNAMIQUE $\left[\,A_0(S)\,\right]$	$\vec R_d = m\,\vec\gamma_G$	$\vec \delta_d(A)=\dfrac{d\vec \sigma_c(A)}{dt}$	$\vec \delta_d(G)=\mathbf I_G\!\cdot\!\dot{\vec\Omega}+ \vec\Omega\times\big(\mathbf I_G\!\cdot\!\vec\Omega\big)$

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4. Principe Fondamental de la Dynamique (PFD)

Dans un référentiel galiléen : Torseur dynamique = torseur des efforts extérieurs :

$$\left[\,A_0(S)\,\right] = \left[\,F_{\text{ext}\rightarrow S}\,\right]$$

Déclinaisons usuelles :

• TRD (résultante) : $m\,\vec\gamma_G = \sum \vec F_{\text{ext}}$
• TMD (moment) : $\dfrac{d\vec \sigma_c(A)}{dt}= \sum \vec M_{A,\text{ext}}$
• Théorème des inter-efforts : actions réciproques $\vec F_{1\to2} = -\vec F_{2\to1}$

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5. Énergie cinétique du solide

$$E_c = \tfrac12\,m\,V_G^{2} + \tfrac12\,\vec\Omega\!\cdot\!\big(\mathbf I_G\!\cdot\!\vec\Omega\big)$$

Connaître aussi : puissance des efforts, variation d’énergie et théorème de l’énergie cinétique.

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6. Méthode systématique de résolution d’un exercice de dynamique

1. Modéliser & isoler le système.
2. Faire l’inventaire des inconnues (section 1).
3. Choisir un point de réduction (souvent G ou un point fixe C) pour appliquer TRD/TMD.
4. Appliquer le PFD :
   • projeter TRD et TMD sur la base la plus adaptée ; on obtient 3 équations (plan) ou 6 équations (3D) .
5. Écrire les conditions de liaison (roulement sans glissement, pivot, encastrement…).
6. Compléter par les équations cinématiques (relation liant variables généralisées et positions) et, si utile, par le théorème de l’énergie.
7. Éliminer les efforts internes :
   • soit en combinant les équations pour ne garder que les inconnues cinématiques,
   • soit en écrivant directement les équations du mouvement exemptes d’efforts de liaison .
8. Résoudre les équations différentielles obtenues, vérifier la cohérence physique (unités, limites).

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7. Pièges courants & bonnes pratiques

• Bien repérer axes et unités ; ré-orienter la base si cela simplifie les expressions d’inertie.
• Vérifier systématiquement que le nombre d’équations ≥ nombre d’inconnues pour un problème « bien posé » .
• Pour l’inertie : attention aux changements de point (Koenig) et aux changements de base (matrice symétrique).
• En présence de plusieurs solides, additionner correctement les torseurs et les opérateurs d’inertie (propriété d’additivité) .

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Questions d’auto-évaluation

1. Expliquez, en une phrase, le contenu du PFD et précisez la condition nécessaire à son application.
2. Pourquoi la matrice d’inertie est-elle symétrique ? Qu’indiquent ses termes hors diagonale ?
3. Montrez comment passer de $\mathbf I_G$ à $\mathbf I_O$ pour un solide de masse $m$.
4. Pour un disque homogène de masse $m$ et rayon $R$, donnez son énergie cinétique lorsque son centre G se déplace à la vitesse $V$ et qu’il tourne à la pulsation $\Omega$ autour de son axe.
5. Dans un problème plan, combien d’équations scalaires fournit le couple (TRD+TMD) ? Justifiez.
6. Quelle différence faites-vous entre inconnues cinématiques et sthéniques ? Donnez un exemple de chaque.
7. Quelles sont les deux méthodes permettant d’éliminer les efforts de liaison dans la mise en équations ?
8. Dans quel cas le terme de puissance $\vec F_{\text{ext}}\!\cdot\!\vec V_G$ peut-il être nul alors que $\vec F_{\text{ext}}\neq\vec 0$ ?

Faites l’exercice : répondez sans regarder la fiche, puis vérifiez. Si vous hésitez sur une réponse, relisez la partie correspondante !

Bon travail !