Xễ t mó t quá cá u tuyễ t lá n khó ng trượ t trễ n...

Lời giải gợi ý (phần a)

Ta xét một quả cầu tuyết đang lăn không trượt trên mặt phẳng ngang, bỏ qua ma sát lăn. Quả cầu tuyết có khối lượng riêng $\rho$ không đổi và do “dính” thêm tuyết nên cả khối lượng $M$ lẫn bán kính $r$ của nó đều tăng dần theo thời gian, nhưng vẫn giữ nguyên dạng hình cầu. Ban đầu, bán kính là $R_0$ và tốc độ góc là $\omega_0$.

1. Mô tả bài toán

• Bán kính của quả cầu tại một thời điểm là $r$.
• Khối lượng của quả cầu tại thời điểm đó là $$M = \frac{4}{3}\,\pi\,\rho\,r^3.$$
• Quả cầu lăn không trượt nên vận tốc tâm khối $v$ và vận tốc góc $\omega$ thỏa mãn $$v = r\,\omega.$$
• Mô-men quán tính của một quả cầu đặc đối với trục đi qua tâm là $$I = \frac{2}{5} M\,r^2.$$

Tuy nhiên, khối lượng $M$ không còn cố định; quả cầu liên tục “nhặt” thêm khối lượng tuyết từ mặt phẳng.

2. Ý tưởng bảo toàn mô-men động lượng quanh điểm tiếp xúc

Một cách xử lý bài toán “vật đang lăn và lớn dần do dính thêm khối lượng” (mà bỏ qua ma sát lăn) là xét mô-men động lượng quanh điểm tiếp xúc tức thời với mặt phẳng. Lý do:

1. Lực pháp tuyến của mặt phẳng (điểm tựa) tác dụng đúng tại điểm tiếp xúc nên không gây mô-men quanh chính điểm đó.
2. Trọng lực $\vec{P}$ đi qua tâm, còn điểm tiếp xúc cách tâm một đoạn $r$ theo phương thẳng đứng, nên về phương ngang sẽ không có mô-men “hãm” hay “đẩy” khiến thay đổi mô-men động lượng quanh điểm tiếp xúc (bỏ qua chi tiết về ma sát thẳng đứng, v.v. trong bối cảnh “ma sát lăn không đáng kể”).
3. Khối lượng tuyết mới được “gắn” vào ở đúng lớp ngoài (tại chỗ tiếp xúc hoặc rất gần), và tại thời điểm “dính” vào, vận tốc của khối tuyết đó bằng không (so với mặt đất). Do điểm tiếp xúc được chọn làm gốc tính mô-men động lượng, phần tuyết mới thêm vào ban đầu cũng có mô-men động lượng $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times \mathbf{p} = 0$ (vì $\mathbf{p}=0$ ngay tại điểm tiếp xúc).

Vì vậy, mô-men động lượng của hệ (quả cầu tuyết + phần tuyết mới) quanh điểm tiếp xúc được bảo toàn.

3. Biểu thức mô-men động lượng quanh điểm tiếp xúc

Gọi $O$ là tâm của quả cầu, $A$ là điểm tiếp xúc với mặt phẳng.

• Động lượng tịnh tiến của quả cầu: $\vec{p} = M\,\vec{v}$.

• Vận tốc của tâm khối là $v = r\,\omega$.

• Mô-men động lượng của khối lượng $M$ quanh điểm $A$ do chuyển động tịnh tiến:

  $$\vec{L}_{\text{tịnh tiến}} = \overrightarrow{OA}\times \vec{p} = r\,\hat{n}\times \bigl(M\,r\,\omega\,\hat{v}\bigr) = M\,r^2\,\omega \quad (\text{cùng phương với trục quay})$$

  (trong đó $\hat{n}$ là véc-tơ bán kính, $\hat{v}$ là véc-tơ vận tốc, còn $\times$ chỉ tích có hướng).

• Mô-men động lực do quay quanh tâm (quay riêng):

  $$L_{\text{quay quanh tâm}} = I\,\omega = \frac{2}{5}M\,r^2\,\omega.$$

Như vậy, tổng mô-men động lượng quanh $A$ là

4. Tính chất bảo toàn và hệ thức hệ quả

Do bài toán giả thiết “bỏ qua ma sát lăn” và khối lượng mới gắn vào tại điểm tiếp xúc với vận tốc ban đầu bằng không (so với mặt đất), nên không có mô-men ngoại lực hữu hiệu quanh $A$. Khi đó,

Tại thời điểm ban đầu ($r = R_0$, $\omega = \omega_0$), khối lượng là $\displaystyle M_0 = \tfrac{4}{3}\,\pi\,\rho\,R_0^3.$

Vậy

Khử $\tfrac{7}{5}$ hai vế, và nhớ rằng $M = \tfrac{4}{3}\,\pi\,\rho\,r^3$, ta được:

Khử các hệ số $\tfrac{4}{3}\pi\rho$ ở hai vế, ta còn

5. Biểu thức $r(\omega)$

Từ

Suy ra

Đó chính là mối liên hệ giữa bán kính $r$ và vận tốc góc $\omega$ của quả cầu tuyết đang lăn và tăng dần kích thước (dạng cầu, khối lượng riêng không đổi) trong điều kiện “bỏ qua ma sát lăn”.

Tóm tắt kết quả

Đây là hàm bán kính của quả cầu tuyết theo $\omega$. Khi $\omega$ giảm dần (do phải “kéo” thêm khối lượng mới), bán kính $r$ tăng dần, phù hợp trực giác về một “quả cầu tuyết lăn càng ngày càng to, càng ngày càng chậm lại”.

Giải thích vì sao momen động lượng quanh điểm tiếp xúc vẫn được bảo toàn dù khối lượng biến thiên

Trong bài toán “quả cầu tuyết đang lăn và ngày càng to dần”, ta thường dùng lập luận rằng momen động lượng của quả cầu quanh điểm tiếp xúc với mặt phẳng không đổi (được bảo toàn). Ở đây, có một thắc mắc tự nhiên:

“Khi quả cầu hấp thụ thêm khối lượng tuyết, chẳng phải có một ‘lực đẩy’ hay ‘mô-men’ nào đó tác dụng lên quả cầu hay sao? Tại sao lại có thể bảo toàn momen động lượng quanh điểm tiếp xúc?”

Dưới đây là cách giải thích chi tiết.

1. Lực pháp tuyến và trọng lực không gây mô-men quanh điểm tiếp xúc

• Trọng lực tác dụng tại tâm của quả cầu, còn lực pháp tuyến từ mặt phẳng tác dụng tại điểm tiếp xúc.
• Tính quanh chính điểm tiếp xúc (kí hiệu là $A$), cả hai lực này đều không tạo momen:
  • Lực pháp tuyến $\vec{N}$ đi qua đúng điểm tiếp xúc $A$.
  • Trọng lực $\vec{P}$ song song với $\overrightarrow{OA}$ ($O$ là tâm quả cầu), nên $\overrightarrow{OA} \times \vec{P} = 0$.

Do đó, nếu không có lực ma sát trượt (chỉ xét “ma sát lăn không đáng kể”), thì về cơ bản không có ngoại lực sinh momen quanh $A$ do hai lực này.

2. Khối lượng “mới” bám vào tại điểm tiếp xúc với vận tốc bằng 0

Ta giả sử tuyết mới “dính” vào quả cầu ngay tại vùng tiếp xúc hoặc sát điểm tiếp xúc, và ở thời điểm đó, khối tuyết mới có vận tốc bằng 0 so với mặt đất (vì nó đang nằm yên trên mặt phẳng).

• Khi khối tuyết mới “nhập” vào quả cầu, nó chưa có động lượng (so với đất), nên cũng không có momen động lượng quanh điểm tiếp xúc (bởi $\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$, mà $\mathbf{p} = 0$).
• Vì $\mathbf{p} = 0$ tại thời điểm vừa dính vào, nên momen động lượng bổ sung do khối tuyết mới (tính quanh điểm tiếp xúc) tại đúng thời điểm đó là 0.
• Về sau, khối tuyết vừa “nhập” sẽ cùng quay và cùng chuyển động với quả cầu, nhưng phần “gia tốc” của khối tuyết ấy lại không đến từ một “ngoại lực” có cánh tay đòn so với điểm $A$. Nó đến từ tương tác nội bộ (lực dính, áp suất bên trong…) giữa khối tuyết cũ và phần tuyết mới, nhưng các lực nội bộ này không sinh momen thuần túy quanh $A$ vì điểm tựa và phương lực được sắp xếp sao cho không tạo mô-men quanh $A$.

Nói cách khác, “khối lượng mới” được thêm vào với momen động lượng bằng không quanh điểm tiếp xúc ngay khi tiếp giáp. Không có “cú hích” hay “lực đẩy” nào có cánh tay đòn quanh $A$ để thay đổi momen động lượng tổng quanh $A$.

3. Hình dung trực quan

• Nếu thay vì “dính tuyết ở điểm tiếp xúc”, bạn dính tuyết từ trên cao rơi xuống (với vận tốc khác 0), thì rõ ràng có thể làm thay đổi momen động lượng của quả cầu.
• Nhưng ở đây, tuyết ở mặt đất không chuyển động (so với đất). Quả cầu “lăn lên trên” nó. Lớp tuyết khi va vào bề mặt của quả cầu (tại điểm tiếp xúc) có vận tốc bằng 0 so với đất, nghĩa là cũng chính vận tốc bằng 0 quanh điểm tiếp xúc.

Nhờ chi tiết này, mô-men động lượng quanh điểm tiếp xúc không thay đổi do “thêm khối lượng”.

4. Tóm tắt

• Quanh điểm tiếp xúc, các lực ngoài (trọng lực và phản lực) không sinh mô-men.
• Khối lượng mới được thêm vào tại điểm tiếp xúc với vận tốc ban đầu bằng 0 so với đất, do đó không bổ sung momen động lượng.

Vì vậy, momen động lượng quanh điểm tiếp xúc vẫn được bảo toàn mặc cho khối lượng của quả cầu thay đổi. Đây chính là lý do ta rút ra được hệ thức:

Hay nói cách khác, sự biến thiên khối lượng “không ăn” vào momen động lượng quanh điểm tiếp xúc, vì tại chính vị trí tiếp xúc, phần khối lượng mới không có vận tốc (hay động lượng) vào thời điểm nhập vào hệ. Do đó, nó không thêm hay bớt gì vào giá trị momen động lượng quanh điểm đó.