Используют теорию, которую я тебе прислал реши зад...

Ниже приведены указания (фактически — решения) к каждому из пяти заданий.

---

1. Существуют ли группы без нетривиальных подгрупп?
Да. Классический пример — группа простого (простого числового) порядка. Если $G$ имеет порядок $p$, где $p$ — простое число, то единственными её подгруппами будут сама группа $G$ и тривиальная подгруппа $\{e\}$. Других (нетривиальных) подгрупп в группе простого порядка не бывает.

---

2. Подгруппа индекса 2 всегда нормальна.
Пусть $H < G$ и $[G : H] = 2$. Это означает, что в фактор-множестве $G/H$ ровно два левых смежных класса: сам $H$ и «остальное» $G \setminus H$.

Чтобы показать нормальность, достаточно проверить, что левый и правый смежные классы по $H$ совпадают для любого элемента $g \in G$. Но так как всего два класса, то если $gH \neq H$, тогда $gH = G \setminus H$. Аналогично для $Hg$. В итоге неизбежно выходит, что

$$gH = Hg$$

для всех $g\in G$. Отсюда $H$ — нормальная подгруппа.

(Альтернативная «короткая» версия доказательства: индекс 2 эквивалентен тому, что фактор-группа $G/H$ имеет порядок 2, а любая группа порядка 2 коммутативна; значит, смежные классы совпадают и $H \triangleleft G$.)

---

3. Количество решений уравнения $x^k = 1$ в циклической группе $C_m$.
Обозначим циклическую группу порядка $m$ через $C_m = \langle g\rangle$. Все её элементы имеют вид $g^r$ для $r = 0,1,\dots,m-1$. Условие

$$(g^r)^k = g^{rk} = e$$

эквивалентно тому, что $m$ делит $rk$. Пусть $d = \gcd(m,k)$. Тогда равенство $m \mid rk$ эквивалентно тому, что $m/d \mid r$.

Количество различных значений $r$ по модулю $m$, удовлетворя этому условию, — как раз $\gcd(m,k)$. Иначе говоря, уравнение $x^k=1$ в $C_m$ имеет ровно $\gcd(m,k)$ решений.

---

4. Все подгруппы группы $S_3$.
Группа перестановок $S_3$ порядка 6 имеет следующие подгруппы:

1. Тривиальная: $\{e\}$.
2. Вся группа: $S_3$.
3. Три подгруппы порядка 2, каждая из которых порождается одной из транспозиций: $$\langle (12)\rangle = \{e, (12)\},\quad \langle (13)\rangle = \{e, (13)\},\quad \langle (23)\rangle = \{e, (23)\}.$$
4. Единственная подгруппа порядка 3 (цикл длины 3 и его степень): $$\langle (123)\rangle = \{\, e,\, (123),\, (132)\}.$$

Итого получается ровно 6 подгрупп.

---

5. «В конечной группе все подгруппы нормальны. Верно ли, что группа коммутативна?»
Необязательно. Существуют некоммутативные (неабелевы) конечные группы, у которых действительно каждая подгруппа нормальна. Классический пример — кватернионная группа $Q_8$ порядка 8. Все её подгруппы нормальны, но сама $Q_8$ не является абелевой.

Таким образом, утверждение «если в конечной группе все подгруппы нормальны, то группа коммутативна» — ложно. Ответ: «Нет, неверно».