Câu 1 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, c...

Chúng ta sẽ xem xét từng mục:

a)

• Vì $M$ thuộc trục hoành $Ox$ nên có dạng $M=(a,0,0)$.
• Điều kiện $MA=MB$ có nghĩa: $$|(a,0,0)-(1,-1,1)|=|(a,0,0)-(2,-3,2)|$$ Tính khoảng cách bình phương:
  • $MA^2=(a-1)^2+(0-(-1))^2+(0-1)^2=(a-1)^2+1+1=(a-1)^2+2$.
  • $MB^2=(a-2)^2+(0-(-3))^2+(0-2)^2=(a-2)^2+9+4=(a-2)^2+13$.
  Đặt $MA^2=MB^2$: $$(a-1)^2+2=(a-2)^2+13.$$ Giải: $$a^2-2a+1+2=a^2-4a+4+13 \quad\Rightarrow\quad -2a+3=-4a+17.$$ Suy ra: $$2a=14\quad\Rightarrow\quad a=7.$$
• Vậy $M=(7,0,0)$ và $a+b+c=7\ne4$.
  => a) Sai.

---

b) Xét tứ giác $ABCD$ với các điểm:

• $A(1,-1,1)$
• $B(2,-3,2)$
• $C(4,-2,2)$
• $D(3,0,1)$.

Tính các véc-tơ:

• $\overrightarrow{AB}=B-A=(1,-2,1)$.
• $\overrightarrow{BC}=C-B=(2,1,0)$.
• $\overrightarrow{CD}=D-C=(-1,2,-1)$.
• $\overrightarrow{DA}=A-D=(-2,-1,0)$.

Nhận xét:

• $\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{CD}$ và $\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{DA}$ nên $ABCD$ là hình bình hành.
• Kiểm tra vuông góc: $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= (1)(2)+(-2)(1)+(1)(0)=2-2+0=0.$$ Vậy hai cạnh kề vuông góc nhau, nên $ABCD$ là hình chữ nhật.
  => b) Đúng.

---

c) Giả sử $M=(a,b,c)$ thỏa mãn

$$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}=0.$$

Nhắc rằng $\overrightarrow{MA}=A-M$, tương tự với các véc-tơ khác. Ta có:

$$(A-M)+(B-M)-3(C-M)=A+B-3C+M=0 \quad\Rightarrow\quad M=3C-A-B.$$

Thay tọa độ:

$$3C=(12,-6,6),\quad A=(1,-1,1),\quad B=(2,-3,2),$$

nên

$$M=(12-1-2,\; -6-(-1)-(-3),\; 6-1-2)=(9,-2,3).$$

Tích $abc=9\times(-2)\times3=-54$.
=> c) Đúng.

---

d) Cho $I=\left(\frac{5}{2}, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)$ và tam giác $BCD$ với:

• $B(2,-3,2)$
• $C(4,-2,2)$
• $D(3,0,1)$.

Để $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, cần kiểm tra $IB=IC=ID$.

Tính khoảng cách bình phương:

• $I=(2.5,-1.5,1.5)$.
• $IB=(2-2.5,\,-3-(-1.5),\,2-1.5)=(-0.5,\,-1.5,\,0.5)$ $\Rightarrow$ $IB^2=0.25+2.25+0.25=2.75$.
• $IC=(4-2.5,\,-2-(-1.5),\,2-1.5)=(1.5,\,-0.5,\,0.5)$ $\Rightarrow$ $IC^2=2.25+0.25+0.25=2.75$.
• $ID=(3-2.5,\;0-(-1.5),\,1-1.5)=(0.5,\,1.5,\,-0.5)$ $\Rightarrow$ $ID^2=0.25+2.25+0.25=2.75$.

Vì $IB=IC=ID$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$.
=> d) Đúng.

---

Tóm lại:

• a) Sai
• b) Đúng
• c) Đúng
• d) Đúng

Phân tích bài toán

• Gọi $x$ là số mét vải lụa được sản xuất (và bán) trong ngày, với ràng buộc $1 \le x \le 18$.
• Hàm chi phí (đơn vị: nghìn đồng) được cho bởi $$C(x) \;=\; x^3 \;-\; 3x^2 \;-\; 20x \;+\; 500.$$
• Giá bán là 340 nghìn đồng cho mỗi mét vải lụa. Do đó, doanh thu (đơn vị: nghìn đồng) là $$R(x) \;=\; 340\,x.$$
• Lợi nhuận (đơn vị: nghìn đồng) là $$L(x) \;=\; R(x) \;-\; C(x) \;=\; 340x \;-\; \bigl(x^3 - 3x^2 - 20x + 500\bigr) \;=\; -x^3 \;+\; 3x^2 \;+\; 320x \;-\; 500.$$

Bài toán yêu cầu:

1. Tìm $x$ trong khoảng $[1,\,18]$ sao cho $L(x)$ lớn nhất.
2. Tính giá trị lợi nhuận cực đại đó (nghìn đồng).

---

1. Tìm $x$ tối ưu bằng đạo hàm

Xét hàm lợi nhuận

$$L(x) = -x^3 + 3x^2 + 320x - 500.$$

• Đạo hàm bậc nhất: $$L'(x) \;=\; -3x^2 + 6x + 320.$$
• Giải phương trình $L'(x) = 0$: $$-3x^2 + 6x + 320 = 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; 3x^2 - 6x - 320 = 0.$$ Ta có thể tìm nghiệm bằng công thức giải bậc hai: $$x \;=\; \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4\cdot3\cdot(-320)}}{2\cdot 3} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 3840}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{3876}}{6}.$$ $\sqrt{3876}$ xấp xỉ khoảng 62.3, nên $$x_1 \approx \frac{6 + 62.3}{6} \,\approx\, 11.38, \quad x_2 \approx \frac{6 - 62.3}{6} \,\approx\, -9.38 \text{ (loại vì âm)}.$$

Vì $1 \le x \le 18$, ta chỉ xét nghiệm dương $x \approx 11.38$.

• Để khẳng định đó là điểm cực đại, xét đạo hàm bậc hai: $$L''(x) \;=\; -6x + 6.$$ Tại $x \approx 11.38$, $$L''(11.38) \approx -6\cdot11.38 + 6 \;=\; -68.28 + 6 \;=\; -62.28 < 0,$$ nên $x \approx 11.38$ là điểm cực đại cục bộ (và do dạng đa thức bậc 3 với hệ số âm trước $x^3$, nó cũng chính là cực đại trên miền nếu không vi phạm biên).

Tuy nhiên, ta cần kiểm tra thêm các giá trị biên $x=1$ và $x=18$, bởi hàm là liên tục và bị chặn trên đoạn $[1,18]$.

---

2. So sánh giá trị tại $x=1$, $x=11.38$, và $x=18$

Ta sẽ tính $L(1)$, $L(11.38)$ và $L(18)$ (làm tròn hợp lý).

Tính nhanh bằng Python (phép tính tay cũng tương tự)

python
def L(x):
    return -x**3 + 3*x**2 + 320*x - 500

for val in [1, 11.38, 18]:
    print(val, L(val))

Tính tay (hoặc nhẩm):

1. Tại $x=1$:

   $$L(1) = -1 + 3 + 320 - 500 = -1 + 3 + 320 - 500 = -178.$$

   (Âm, chắc chắn không phải điểm tối ưu.)

2. Tại $x=11.38$ (xấp xỉ):

   $$L(11.38) = -(11.38)^3 + 3(11.38)^2 + 320(11.38) - 500.$$

   Ta có:

   • $(11.38)^2 \approx 129.44$
   • $(11.38)^3 \approx 11.38 \times 129.44 \approx 1472.52$

   Nên

   $$\begin{aligned} L(11.38) &\approx -1472.52 \;+\; 3 \times 129.44 \;+\; 320 \times 11.38 \;-\; 500.\\ &\approx -1472.52 \;+\; 388.32 \;+\; (320 \cdot 11.38) \;-\; 500. \end{aligned}$$
   • $320 \times 11.38 \approx 3641.6$

   Do đó

   $$L(11.38) \approx -1472.52 + 388.32 + 3641.6 - 500 = (-1472.52 + 388.32) + (3641.6 - 500) = -1084.2 + 3141.6 = 2057.4 \;(\text{nghìn đồng}).$$

3. Tại $x=18$:

   $$L(18) = -(18)^3 + 3(18)^2 + 320(18) - 500.$$
   • $18^3 = 5832$
   • $18^2 = 324$

   Nên

   $$L(18) = -5832 + 3\cdot324 + 320\cdot18 - 500 = -5832 + 972 + 5760 - 500 = -5832 + 972 + 5260 = (-5832 + 972) + 5260 = -4860 + 5260 = 400.$$

Kết luận qua ba giá trị:

• $L(1) = -178$ (âm, không tối ưu),
• $L(11.38) \approx 2057.4$,
• $L(18) = 400.$

Rõ ràng, giá trị cực đại đạt được ở khoảng $x \approx 11.38$, lớn hơn nhiều so với tại hai biên 1 và 18.

Nếu bài yêu cầu $x$ là số nguyên (vì thường mét vải có thể tính theo số nguyên), ta so sánh $L(11)$ và $L(12)$ (hai số nguyên lân cận 11.38) để xem đâu là lớn hơn.

Trường hợp cần làm tròn $x$ về số nguyên:

• $L(11) = -(11^3) + 3\cdot(11^2) + 320\cdot11 - 500$ $$= -1331 + 3\cdot121 + 3520 - 500 = -1331 + 363 + 3520 - 500 = -968 + 3020 = 2052.$$
• $L(12) = -(12^3) + 3\cdot(12^2) + 320\cdot12 - 500$ $$= -1728 + 3\cdot144 + 3840 - 500 = -1728 + 432 + 3840 - 500 = -1296 + 3340 = 2044.$$

Vậy $L(11) = 2052$ lớn hơn $L(12) = 2044$. Suy ra nếu ta chỉ được chọn số nguyên, $x=11$ cho lợi nhuận cao hơn $x=12$. Và so với x=10 hay x=13 ta có thể kiểm nhanh, nhưng thông thường 11 hay 12 mới gần điểm cực đại nhất.

Như vậy:

• Nếu được phép chọn $x$ thực (liên tục) trong $[1,18]$, điểm cực đại là $x \approx 11.38$ với lợi nhuận $\approx 2057.4$ (nghìn đồng).
• Nếu cần số nguyên (hay bài thực tế thường sản xuất số nguyên mét), thì $x=11$ tối ưu nhất với lợi nhuận $\approx 2052$ (nghìn đồng).

Tùy yêu cầu đề bài, ta chọn cách trả lời phù hợp.

---

3. Kết luận

• Số mét vải lụa cần sản xuất, bán ra mỗi ngày để tối đa lợi nhuận:

  • Trường hợp bài toán chấp nhận $x$ là số thực: $x \approx 11{,}38$.
  • Nếu bài toán yêu cầu $x$ là số nguyên, tối ưu là $x=11$.

• Lợi nhuận tối đa:

  • Giá trị xấp xỉ: $\max L(x)\approx 2057{,}4$ (nghìn đồng) khi $x\approx 11{,}38$.
  • Nếu chọn $x=11$ (số nguyên), lợi nhuận đạt $\approx 2052$ (nghìn đồng).

Đáp án thường sẽ làm tròn về số nguyên (do sản lượng thường tính theo mét nguyên), do đó:

• Sản xuất $11$ mét vải lụa mỗi ngày.
• Lợi nhuận tối đa gần 2.052.000 đồng (tức 2.052 nghìn đồng).