Câu 3. Cầu Cổng Vàng (The Golden Gate Bridge) ở Mỹ...

Câu 3:

Bài toán yêu cầu tính độ dài đoạn dây MN, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. Phân tích dữ liệu:

   • Điểm D thuộc trục Oz, có tọa độ là $D(0, 0, 227)$.
   • Điểm A thuộc mặt phẳng Oyz, có tọa độ là $A(343, 75, 0)$.
   • Điểm M nằm trên thành cầu, cách trục Oz khoảng 230m, và có độ cao so với mặt nước là 75m. Vậy tọa độ của M là $M(230, 75, 0)$.
   • Dây MN song song với cột trụ Oz, tức là $N$ sẽ nằm trên đoạn dây thẳng nối A và D.

2. Lập phương trình đoạn thẳng AD:

   • Đoạn thẳng AD đi qua các điểm $A(343, 75, 0)$ và $D(0, 0, 227)$.
   • Phương trình đoạn thẳng AD có dạng: $$\mathbf{r}(t) = (1-t) \mathbf{A} + t \mathbf{D}, \quad 0 \leq t \leq 1$$ Với $\mathbf{A} = (343, 75, 0)$ và $\mathbf{D} = (0, 0, 227)$.

   => Phương trình điểm trên đoạn thẳng AD:

   $$x(t) = 343(1-t), \quad y(t) = 75(1-t), \quad z(t) = 227t$$

   Ta sẽ dùng giá trị của $z(t)$ để tìm điểm N.

3. Xác định tọa độ N:

   • MN song song với trục Oz, tức là tọa độ của N và M có cùng giá trị $y$ và $z$, chỉ khác ở giá trị $x$.
   • Tọa độ $M(230, 75, 0)$ nên điểm N có tọa độ $N(230, 75, z_N)$.
   • Vì N nằm trên đoạn thẳng AD, ta thay giá trị $y = 75$ vào phương trình $y(t)$: $$75(1-t) = 75 \quad \Rightarrow \quad t = 0$$ Vậy $z_N = 227$.

4. Tính độ dài MN:

   • Đoạn MN có độ dài bằng hiệu giữa tọa độ $z$ của M và N.
   • $z_N - z_M = 227 - 75 = 152$.

Vậy, độ dài đoạn MN là 152m.

Câu 4:

1. Tính diện tích của vườn hoa dạng elip:

   • Công thức diện tích elip là $A = \pi \times a \times b$, trong đó:
     • $a$ là bán trục lớn, $a = 4$ m.
     • $b$ là bán trục nhỏ, $b = 2$ m.
   • Diện tích elip là: $$A = \pi \times 4 \times 2 = 8\pi \approx 25.13 \, m^2$$

2. Tính diện tích các phần đất:

   • Diện tích mỗi phân (A, B, C, D) là 1/4 diện tích tổng: $$A_{\text{phân}} = \frac{25.13}{4} \approx 6.28 \, m^2$$
   • Kinh phí cho trồng hoa là 250.000 đồng/m^2 và cho cỏ là 150.000 đồng/m^2.
     • Diện tích hoa: 2 phân, tổng diện tích hoa là $6.28 \times 2 = 12.56 \, m^2$.
     • Diện tích cỏ: 2 phân, tổng diện tích cỏ là $6.28 \times 2 = 12.56 \, m^2$.

3. Tính tổng chi phí:

   • Chi phí trồng hoa: $$12.56 \times 250.000 = 3.140.000 \, \text{đồng} \quad (\approx 3.14 \, triệu \, đồng)$$
   • Chi phí trồng cỏ: $$12.56 \times 150.000 = 1.884.000 \, \text{đồng} \quad (\approx 1.88 \, triệu \, đồng)$$
   • Tổng chi phí: $$3.14 + 1.88 = 5.02 \, \text{triệu đồng}$$

Câu 5:

Khi lượng nước trong bể tăng đến vô hạn, nồng độ muối sẽ tiếp cận một giá trị ổn định. Sự ổn định này sẽ được xác định bằng sự cân bằng giữa lượng nước vào và lượng nước ra.

• Lượng nước vào là 20 lít/phút, với nồng độ 20 gam/lít.
• Lượng muối vào là $20 \times 20 = 400$ gam/phút.
• Khi lượng nước trong bể đạt đến mức ổn định, ta có tỷ lệ giữa lượng muối và nước trong bể là không đổi. Vậy, nồng độ muối trong bể là: $$\text{Nồng độ muối} = \frac{400}{1000} = 0.4 \, \text{gam/lít}$$

Câu 6:

Áp dụng định lý Bayes để tính xác suất một người dương tính với viêm gan B có bị mắc bệnh sơ gan:

• Xác suất bị bệnh sơ gan: $P(S) = 0.008$.
• Xác suất dương tính với viêm gan B khi bị sơ gan: $P(B|S) = 0.6$.
• Xác suất dương tính với viêm gan B khi không bị sơ gan: $P(B|S^C) = 0.1$.
• Xác suất không bị bệnh sơ gan: $P(S^C) = 0.992$.

Công thức Bayes:

$$P(S|B) = \frac{P(B|S) \cdot P(S)}{P(B)}$$

Trong đó:

$$P(B) = P(B|S) \cdot P(S) + P(B|S^C) \cdot P(S^C)$$

Tính được:

$$P(B) = 0.6 \cdot 0.008 + 0.1 \cdot 0.992 = 0.0984$$

Vậy:

$$P(S|B) = \frac{0.6 \cdot 0.008}{0.0984} \approx 0.0488 \quad \Rightarrow \quad 4.9\%$$

Kết quả là xác suất người đó bị mắc bệnh sơ gan là 5%.