logoChat01.ai

Чебурашка и цифры

Tạo vào: 18 tháng 1, 2025

Trả lời bằng O1 bởi Chat01

Câu hỏi

Дано два натуральных числа a и b, такие что a2 + 2ab - 3b2 - 101 = 0. Чему равна сумма a2 + b2?

Suy nghĩ

Revisiting the equation

OK, let me see. We have a quadratic equation in two variables, a and b, and need integer solutions where both are positive. I’m starting by identifying pairs of a and b that satisfy it.

Breaking down the equation

I’m working through rewriting the equation by factoring it into (a - b)(a + 3b) = 101. Since 101 is prime, I’ll explore its possible integer solutions.

Examining valid pairings

I’m digging into the factor pairs of 101. The (1, 101) pair works for positive integers, while the (101, 1) pair doesn’t fit the criteria.

Assessing further

Interestingly enough, neither negative factor pairs nor positive pairs like (101, 1) work for positive integers. Only pairs like (1, 101) seem to fit the criteria.

Thought about решение квадратного уравнения для 14 секунд

Trả lời

Для решения уравнения a2+2ab−3b2=101a^2 + 2ab - 3b^2 = 101 заметим, что левая часть факторизуется так:

a2+2ab−3b2  =  (a+b)2−4b2  =  (a+b−2b)(a+b+2b)  =  (a−b)(a+3b).a^2 + 2ab - 3b^2 \;=\; (a+b)^2 - 4b^2 \;=\; (a+b - 2b)(a+b + 2b) \;=\; (a - b)(a + 3b).

Следовательно, у нас получается уравнение

(a−b) (a+3b)  =  101.(a - b)\,(a + 3b) \;=\; 101.

Поскольку 101101 — простое число, единственные положительные целые разбиения 101=1×101101 = 1 \times 101. Тогда система

{a−b=1,a+3b=101\begin{cases} a - b = 1,\\ a + 3b = 101 \end{cases}

даёт решение. Из первого уравнения a=b+1a = b + 1. Подставляем в второе:

(b+1)+3b=101      ⇒      4b+1=101      ⇒      4b=100      ⇒      b=25,(b+1) + 3b = 101 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 4b + 1 = 101 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; 4b = 100 \;\;\;\Rightarrow\;\;\; b = 25, a=b+1=25+1=26.a = b + 1 = 25 + 1 = 26.

Тогда искомая сумма:

a2+b2=262+252=676+625=1301.a^2 + b^2 = 26^2 + 25^2 = 676 + 625 = 1301.

Ответ: 13011301.

Chia sẻ Q&A này