Câu hỏi

有 8 个人，分别是 A、B、C、D 和另外 4 人。要将这 8 个人随机安排在教室的两排座位上，每排有 4 个座位，共 8 个座位。相邻的定义是：若两个人坐在同一排并且座位编号相邻，则这两个人相邻。现要求 A 与 B 必须相邻，且 C 与 D 不相邻，问在上述条件下共有多少种不同的排法？

Suy nghĩ

Sorting seating

I’m figuring out the seating arrangement for 8 people in 8 seats, ensuring A and B sit next to each other, while C and D don't.

Mapping seat arrangements

First, I'm figuring out 8 seats and counting ways to seat 8 people. Next, I want A and B together, minus seating C and D together.

Organizing A and B

I’m grouping A and B together as a block, leaving 6 other individuals to arrange. This setup simplifies the seating process and ensures A and B sit next to each other.

Mapping the seating

I’m planning where to place the A and B block and figuring out how to seat the remaining 6 individuals, considering their orientations and adjacency pairs.

Counting seatings

I’m digging into the total seatings with A and B adjacent, then excluding those where C and D are also adjacent, using complementary counting to avoid double-counting.

Placing the blocks

I’m strategically placing A and B, then finding C and D adjacent seats, ensuring no overlap and avoiding double-counting with unique methods for precise seatings.

Mapping out seatings

I’m assigning A and B, then C and D to seats, ensuring each pair is adjacent and considering all orientations for precise seatings.

Ensuring seat exclusivity

I’m mapping out how to select non-overlapping adjacency pairs for A and B, and C and D, from total seats, ensuring each pair occupies distinct seats.

Identifying valid pairs

I’m selecting valid adjacency pairs for A and B from one row and C and D from another, ensuring each pair is distinct and occupies non-overlapping seats.

Identifying valid combinations

I’m mapping out the distinct adjacency pairs for A and B from one row and C and D from another, ensuring no overlapping seats and considering all valid combinations.

Mapping seating permutations

Calculating ways to seat A and B, and C and D, involves 11 unique pair combinations. Each has 8 seating orientations, ensuring a comprehensive count of 88 ways.

Verifying the count

I’m checking the total valid seatings by subtracting 2112 combinations where A, B, and C, D are adjacent from the 8640 count where A, B are adjacent.

Thought about座位安排问题，持续 1m 14s

Trả lời

这道题常见的解法是「先算出 A、B 相邻的排法总数，再减去同时满足 A、B 相邻且 C、D 相邻的排法数」，即可得到「A、B 相邻且 C、D 不相邻」的排法数。下面分步骤详细说明。

1. 问题背景与座位标号

有 8 个人： $A, B, C, D$ 和另外 4 位同学（记为 $E, F, G, H$ ）。
教室座位排布：2 排，每排 4 个座位，共 8 个座位。
相邻仅指「同一排中且座位编号相邻」，不同排不视为相邻。

为了方便讨论，可将座位编号设为：

第一排： $1, 2, 3, 4$
第二排： $5, 6, 7, 8$

则相邻的座位对为：

第一排： $(1,2), (2,3), (3,4)$ —— 共 3 对
第二排： $(5,6), (6,7), (7,8)$ —— 共 3 对

总共有 6 对相邻座位。

2. 先数「A、B 必须相邻」的排法数

做法：把 $A$ 和 $B$ 当作一个「大小为 2」的整体“AB 块”，再与其它 6 人（ $C, D, E, F, G, H$ ）一起放入 8 个座位。

选择 AB 块落在哪一个相邻座位对：
相邻座位对一共有 6 个，所以可以选其中任何 1 对给“AB 块”。
AB 的前后顺序：
当“AB 块”占据某个相邻对后，内部还可以是 $AB$ 或 $BA$ ，共 2 种。
其余 6 人排在剩余 6 个座位：
这 6 人是彼此独立的，排法是 $6!$ 种。

因此，「A、B 相邻」的排法总数为

6 \;(\text{选座位对}) \;\times\; 2\;(\text{AB 或 BA}) \;\times\; 6! \;=\; 6 \times 2 \times 720 \;=\; 8640.

3. 再数「A、B 相邻且 C、D 相邻」的排法数

这一步要小心处理，因为要同时把 $A,B$ 组成一个块、 $C,D$ 也组成一个块，并保证它们各自都坐在相邻的两个座位上，且不能发生“共享座位”的冲突。

3.1 有效的「相邻座位对」组合数

我们先列出所有相邻座位对（共 6 对）：

第一排： $A_1=(1,2), A_2=(2,3), A_3=(3,4)$
第二排： $B_1=(5,6), B_2=(6,7), B_3=(7,8)$

要从这 6 对中「选 2 对」给 AB 块和 CD 块使用，并且这 2 对不能有座位重叠。分析如下：

在同一排里能同时选的相邻对：
- 第一排：只有 $(1,2)$ $(1, 2)$ 与 $(3,4)$ $(3, 4)$ 不重叠， $(2,3)$ $(2, 3)$ 与 $(1,2)$ $(1, 2)$ 或 $(3,4)$ $(3, 4)$ 都会共享座位；
  - 所以在第一排里，能同时选的组合只有 $\{A_1, A_3\}$ 。
- 第二排：同理，能同时选的组合只有 $\{B_1, B_3\}$ 。
跨排选择：
- 如果从第一排选 1 对、第二排选 1 对，它们不可能重叠，所以共有 $3 \times 3 = 9$ 种选法。

因此，总的「可行相邻对组合」数目为

1 (\text{第一排内部}) + 1 (\text{第二排内部}) + 9 (\text{跨排}) = 11.

3.2 放置 AB 块与 CD 块

先从上面的 11 种「相邻对组合」中选 1 种；
这 2 个相邻对要分配给「AB 块」和「CD 块」：可互换，因而有 $2!$ 种分配方法；
「AB 块」在自己那一对里有 2 种坐法（ $AB$ 或 $BA$ ），「CD 块」也有 2 种（ $CD$ 或 $DC$ ）。所以每组相邻对里，块内顺序共 $2 \times 2 = 4$ 种；
剩余的 4 人 $E, F, G, H$ 坐在剩余 4 个空座位，有 $4!$ 种排法。

因此，对每种「相邻对组合」而言，排法数为

2! \;(\text{分配块到两个相邻对}) \;\times\; (2 \times 2) \;(\text{AB、CD 各自的前后顺序}) \;\times\; 4! \;=\; 2 \times 4 \times 24 \;=\; 192.

把 11 种「相邻对组合」都算上，可得

11 \;\times\; 192 \;=\; 2112.

这便是「A、B 相邻且 C、D 相邻」的总排法数。

4. 最终结果：「A、B 相邻且 C、D 不相邻」

由「容斥/补集」思想可知：

\text{(A,B 相邻且 C,D 不相邻)} \;=\; \text{(A,B 相邻总数)} \;-\; \text{(A,B 相邻且 C,D 相邻总数)}.

代入数值即得

8640 \;-\; 2112 \;=\; 6528.

结论

满足「 $A$ 与 $B$ 必须相邻」且「 $C$ 与 $D$ 不相邻」的排法共有 $6528$ 种。

A与B相邻C与D不相邻