Задача о курицах

Figuring out the chance of a black and white chicken getting an evening shift seat is interesting. While considering their random submission order, I calculate the total seating possibilities by factoring in both the shifts and seat assignments.

Clarifying the problem involves identifying if the question refers to a specific black chicken or any black chicken and a white chicken. The ambiguity needs to be resolved for accurate probability calculation.

Clarifying the question involves determining if it refers to any black chicken and the white chicken, or a specific black chicken and the white chicken, to accurately calculate the probability.

Clarifying the question involves evaluating if it addresses any black chicken and the white chicken or a specific black chicken with the white chicken, aiming for an accurate probability assessment.

Considering the problem, it appears to focus on the scenario where the white chicken and at least one black chicken secure evening shift seats, given the ambiguity of the phrase "черная и белая курицы."

Refining the problem, I’m assessing the scenario where the question focuses on the 'white chicken' and a specific black chicken (say, black #1) securing evening shift seats, amidst ambiguity.

I'm thinking through the problem by clarifying that the question refers to a specific black chicken and the white chicken both securing evening shift seats, considering the total seats and chicken allocation.

Random seat assignments for chickens are influenced by their arrival order and the availability of day and evening seats, leading to 24 possible permutations.

Considering seat assignments, chickens B1 and W should secure evening seats by the end. This suggests side discussions might complicate things.

I’m piecing together the possible seating arrangements for the chickens, ensuring no more than 3 chickens in the evening shift due to seat constraints.

Piecing together the seating arrangements, I’m focusing on the viable options: 2 day, 2 evening; 1 day, 3 evening; and eliminating the impractical 2 day, 3 evening scenario.

OK, let's analyze the final seat usage: either 2 day seats and 2 evening seats with 1 evening seat empty, or 1 day seat and 3 evening seats with 1 day seat empty.

Starting with 2 day and 3 evening seats, chickens choose shifts based on availability. The random order impacts seat assignments, leading to distinct final configurations.

Calculating probabilities involves assessing both configurations: 2 day and 2 evening, and 1 day and 3 evening seats. This helps determine the likelihood of chickens B and W securing evening seats.

I'm examining the seating choices chickens make in a random order. Each chicken decides on a day or evening shift with a 1/2 probability, leading to 24 combinations to analyze B and W's seating.

I’m thinking about the seating probabilities, given the random seat assignments and the leftover seat, each of the 5 seats has a 2/5 chance of being chosen last.

Examining the uniformity of seat assignment probabilities for chickens, considering day and evening choices and the leftover seat, with no constraint on day seats being used up early.

Piecing together the final seat assignment probabilities: 2 day and 2 evening, and 1 day and 3 evening, considering seat constraints. Chickens choose shifts randomly, influencing the distribution.

I'm thinking through the uniformity of seat assignment probabilities, considering chicken preferences for day or evening shifts, and the constraints on seat availability. This approach should simplify things.

I’m systematically counting valid chicken seating sequences, considering seat availability and chicken order, while addressing forced shifts when day seats are depleted early. This leads to a better understanding of optimal seating.

Breaking down seating options

Considering each chicken's random arrival and seat choice, the probability of any chicken selecting the evening shift is 3 out of 5, given the 5-seat configuration.

OK, let me see. Each chicken has a 3/5 chance of ending up in the evening shift, considering the 5-seat setup and the leftover seat.

Considering a combinational approach for seating four distinct chickens in five seats, aiming to understand the seat choice distribution between day and evening shifts.

Clarifying the probability of B and W both getting evening shift seats simplifies things. Considering the uniform chance for each chicken to choose evening helps in understanding the setup.

I’m mapping out the valid seating configurations: only 2 or 3 chickens can fit the evening shift, considering the seat limits and the total number of chickens.

I’m breaking down the scenario to determine the conditional probabilities of B and W occupying evening shift seats, given different configurations: 2 or 3 chickens in the evening shift.

Mapping the distribution involves examining each chicken's random choice between day and evening shifts, ensuring seat constraints are maintained. This leads to a clearer understanding of optimal seating arrangements.

I’m thinking through boosting efficiency by converting busy-traffic intersections into multi-lane roundabouts, which should enhance overall traffic flow and reduce congestion.

Clarifying the scenario: Sharon walks 1 mile to class, doubles back to student union, returns home, and is late. This sequence simplifies understanding her tardiness.

Considering the binomial random variable X, where each chicken independently chooses day with a 1/2 probability, helps analyze the seating distribution between day and evening shifts.

Mapping out seating options

I’m analyzing how binomial variable X impacts seating: if X >= 2, Y=2. Forced evening seating ensures evening capacity isn't exceeded.

Mapping seating dynamics

Hmm, I'm thinking about how seating preferences unfold. When X=1, 1 chicken gets a day seat, and the others head to evening seats. Y=3 seems to be the outcome.

Mapping probabilities

I’m calculating probabilities for chickens’ seating preferences, linking X to Y, and determining the likelihood of B and W both securing evening shift seats.

Assessing symmetry

I'm thinking through the probability of exactly B and W ending up in the evening shift, observing their equal likelihood as it mirrors the seating arrangement symmetry.

Figuring out probabilities

First, I calculate the chance that B and W end up in the evening shift given exactly 2 other chickens are there, then I assess their likelihood with 3 others.

Breaking down the probabilities

I’m working through the likelihood of B and W ending up in the evening shift, combining the scenarios with different numbers of other chickens also in the evening shift.

Thought about вероятность назначения куриц für 3m 4s

Ниже приводится подробное разъяснение решения. Для удобства обозначим куриц так:

• $B$ — «интересующая» нас чёрная курица (то есть та самая «чёрная курица», про которую в задаче спрашивается вместе с белой).
• $B_2, B_3$ — две другие чёрные курицы,
• $W$ — белая курица.

Всего в университете есть 5 целевых мест:

• 2 места на дневном отделении (далее «день»),
• 3 места на вечернем отделении (далее «вечер»).

Однако абитуриентов (куриц) всего 4, так что одно из пяти мест в итоге останется пустым.

Как происходит зачисление

1. Курицы подают заявления в случайном порядке (все 4! = 24 порядка равновозможны).
2. Когда очередная курица подаёт заявление, она видит, в каком из двух отделений (день/вечер) ещё остались свободные места:
   • Если в обоих отделениях есть места, курица с равной вероятностью $1/2$ выбирает «день» или «вечер».
   • Если в каком-то одном отделении места уже закончились, она вынужденно идёт в то отделение, где место ещё есть.

В результате после подачи заявлений все 4 курицы будут распределены по имеющимся местам, но одно место (из 5) окажется неиспользованным.

Возможные итоги по числу занятых мест

Обозначим через

• $Y$ — число куриц, которые в итоге попадут на «вечер»,
• тогда $4 - Y$ — число куриц, которые в итоге попадут на «день».

Так как всего 4 курицы и есть следующие ограничения

• не более 2 мест на «дне» (значит, максимум 2 курицы могут туда пойти),
• не более 3 мест на «вечере» (значит, максимум 3 курицы могут туда пойти),

то вариантов для $Y$ остаётся всего два:

1. $Y = 2$. Тогда на «день» тоже идёт $4 - 2 = 2$ курицы;
2. $Y = 3$. Тогда на «день» идёт $4 - 3 = 1$ курица.

Случаи $Y=0,1$ или $Y=4$ при данных вместимостях невозможны:

• $Y=4$ невозможно, так как всего 3 вечерних места;
• $Y=0$ или $Y=1$ тоже невозможны, ибо для «дня» есть только 2 места (не хватит, чтобы распределить 3 или 4 куриц).

Таким образом, итоговый «расклад» обязательно либо $2$ на вечер и $2$ на день, либо $3$ на вечер и $1$ на день.

Вероятности $P(Y=2)$ и $P(Y=3)$

Удобнее всего представить, что каждая из 4 куриц «монеткой» выбирает «день» (с вероятностью $1/2$) или «вечер» (с вероятностью $1/2$), если в выбранном отделении ещё есть свободное место. Если место внезапно «кончилось», курица пойдёт в оставшееся отделение принудительно.

Однако такую схему можно эквивалентно переосмыслить так:

Пусть $X$ — количество куриц из 4, которые «внутренне» выбрали «день» (до учёта ограничений). Тогда $X$ распределена как $\mathrm{Binomial}(n=4, p=1/2)$.

• Если $X \ge 2$, то первые 2 «желающих» день его и займут (ведь в дне всего 2 места), а оставшиеся $(X - 2)$ «любители дня» будут вынуждены перейти на вечер. В итоге на «дне» всё равно окажутся ровно 2 курицы, а всего на «вечере» тоже пойдут $4 - 2 = 2$.
• Если же $X \le 1$, то места в «дне» останутся (2 места, а желающих $X\le1$), зато все остальные пойдут на «вечер» (им там места хватит). Тогда на «вечер» попадёт $4 - X$ куриц, что при $X \le 1$ даёт $4 - 1 = 3$ или $4 - 0 = 4$. Но поскольку 4 на «вечер» невозможно (всего 3 места), получается, что последняя, четвёртая курица просто «не сможет» выбрать вечер и пойдёт в день, итого $Y=3$.

Итоговое соответствие таково:

• $X = 0 \implies$ фактически на «дне» окажется 1, на «вечере» — 3 ($Y=3$);
• $X = 1 \implies$ фактически на «дне» будет 1, на «вечере» — 3 ($Y=3$);
• $X = 2 \implies$ будет ровно 2 на «дне» и 2 на «вечере» ($Y=2$);
• $X = 3 \implies$ «день» переполнится на 1 лишнего, которого «отправят» на «вечер», итого 2 на «дне», 2 на «вечере» ($Y=2$);
• $X = 4 \implies$ «день» переполнится на 2 лишних, они пойдут на «вечер», итого 2 на «дне», 2 на «вечере» ($Y=2$).

Поскольку $X\sim \mathrm{Binomial}(4,\,1/2)$, имеем

Тогда

• $Y=3$ при $X=0$ или $X=1$. $$P(Y=3) \;=\; P(X=0)+P(X=1) \;=\; \binom{4}{0}\tfrac1{16} + \binom{4}{1}\tfrac1{16} \;=\; 1\cdot\tfrac1{16} + 4\cdot\tfrac1{16} \;=\; \tfrac{5}{16}.$$
• $Y=2$ при $X=2,3,4$. $$P(Y=2) \;=\; P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) \;=\; \binom{4}{2}\tfrac1{16} + \binom{4}{3}\tfrac1{16} + \binom{4}{4}\tfrac1{16} \;=\; 6\cdot\tfrac1{16} + 4\cdot\tfrac1{16} + 1\cdot\tfrac1{16} \;=\; \tfrac{11}{16}.$$

Итого

Вероятность того, что $B$ и $W$ окажутся на «вечере»

Нас интересует

Разобьём по случаям $Y=2$ или $Y=3$ («сколько всего на вечере?»):

1) Случай $Y=2$

Значит, ровно 2 курицы из 4 попадают в «вечер». По симметрии (ведь порядок подачи заявлений равномерен, а выбирают курицы с вероятностью $1/2$ «день»/«вечер», пока оба доступны) любая пара из 4 куриц равновероятно может оказаться в «вечере» из тех случаев, когда именно 2 курицы пошли на «вечер».

• Всего пар $\{\text{курица}_1, \text{курица}_2\}$ из 4 штук: $\binom{4}{2} = 6.$
• Нас интересует конкретная пара $\{B,W\}$. Вероятность, что именно $B$ и $W$ оказались в «вечере», равна $\tfrac{1}{6}$ среди всех случаев $Y=2$.

То есть

2) Случай $Y=3$

Тогда в «вечере» оказываются ровно 3 из 4 куриц. Опять же по симметрии любая тройка из 4 попадает туда с равной вероятностью среди «тех» исходов.

• Всего троек $\binom{4}{3} = 4$.
• Среди них те, что содержат и $B$, и $W$:
  • $\{B,W,B_2\}$
  • $\{B,W,B_3\}$.
    Итого 2 тройки из 4. Значит,

Подстановка

Подставим найденное в формулу:

Вычислим:

1. $\tfrac{1}{6}\times \tfrac{11}{16} = \tfrac{11}{96}$.
2. $\tfrac{1}{2}\times \tfrac{5}{16} = \tfrac{5}{32} = \tfrac{15}{96}$.

Сложим:

Итак, итоговая вероятность того, что «наша» чёрная курица $B$ и белая курица $W$ обе окажутся на вечернем отделении, равна

Коротко о главном

• Вероятность того, что ровно 2 курицы пойдут на вечер, равна $11/16$. При этом среди всех способов «выбрать» ровно 2 из 4 куриц каждая пара равновероятна, значит $1/6$ шанс, что этими двумя окажутся именно $B$ и $W$.
• Вероятность того, что 3 курицы окажутся на вечере, равна $5/16$. Тогда каждая тройка равновозможна, а тройки, содержащие $B$ и $W$, составляют половину из всех четырёх.

Суммарный ответ даёт $\tfrac{13}{48}$.