Расстояние падения снаряда
Tạo vào: 10 tháng 1, 2025
Tạo vào: 10 tháng 1, 2025
Допустим, что реактивный снаряд после мгновенной работы двигателя стартовал точно на северном полюсе Земли. Снаряд летит к цели, находящейся на расстоянии максимальной дальности полета. Максимальная высота в процессе полета H=2 "км"
. Вектор начальной скорости снаряда и цель лежат в одной меридиональной плоскости. Оцените расстояние S
от места падения снаряда до цели.
Ниже приведён один из возможных способов прикидочной оценки, почему расстояние от точки падения до «цели» (если бы мы рассчитывали траекторию на плоской Земле с постоянным вертикальным ) получается очень маленьким – порядка метров или даже меньше.
Пусть снаряд запускается под углом, дающим максимальную дальность на плоскости (это угол в однородном поле тяжести без учёта сопротивления воздуха). При этом:
Максимальная высота траектории (вершина) равна
Для угла , где , имеем
Отсюда
При м и м/с:
Максимальная дальность (на плоскости) для угла есть
При м получаем
Итак, если бы Земля была плоской, а направление силы тяжести везде оставалось одинаково «вертикальным», снаряд упал бы ровно в точку, отстоящую на 8 км от места старта.
Теперь реальная Земля шарообразна (или близка к ней), с радиусом км. Снаряд стартует с Северного полюса и летит на расстояние порядка 8 км вдоль поверхности. При этом:
Изменение направления силы тяжести.
На плоской модели мы считаем, что «вектор » всё время параллелен сам себе. Но на сфере гравитация в каждой точке направлена к центру Земли; следовательно, за 8 км вдоль поверхности угол, на который «повернётся» вектор , очень мал:
При столь малом «повороте» результирующая разница в траектории (по сравнению с «прямолинейным» ) будет очень невелика.
Разница между дугой и хордой на малой дуге.
Для дуги длиной км при км:
Приблизительная оценка «промаха».
Если грубо считать, что «наклон» вектора тяжести за 8 км приводит к смещению траектории на порядок
(Это лишь весьма условная «оценка по размерности», показывающая, что эффект не превысит десятков метров.)
Все дополнительные факторы (неидеальная гравитация, поворот траектории, небольшая разница в значении на высоте 2 км и т. д.) суммарно дадут эффект того же порядка величины – то есть счёт идёт на метры, максимум десятки метров, но уж никак не на километры.
Таким образом, если цель «по плоской модели» находилась бы ровно на максимальной дальности (8 км), то из-за учёта сферичности Земли (радиального направления силы тяжести) снаряд упадёт чуть мимо цели. Порядок этого «промаха» оценивается:
Это и есть искомая прикидка. На фоне общей дальности всего 8 км такой «горизонтальный» промах из-за кривизны Земли пренебрежимо мал.
ты не учел вращение земли вокруг своей оси
Ниже — краткая прикидочная оценка того, как повлияет вращение Земли на «промах» снаряда, если он стартует с Северного полюса и летит по чисто баллистической траектории (без учёта сопротивления воздуха и т. п.) к точке максимальной дальности порядка 8 км.
Из предыдущих прикидок (без учёта вращения Земли) мы получили:
Это время (40 с) — ключевое для оценки сноса из-за вращения Земли.
Пусть Земля вращается с угловой скоростью
Линейная скорость точки на расстоянии от оси вращения есть
Для м получаем:
То есть земляная «точка приземления» уходит (на данной широте) на восток со скоростью около 0,6 м/с.
Поскольку снаряд стартовал с самого полюса, там его линейная скорость (из-за вращения) была нулевой. Значит, в инерциальной («не вращающейся вместе с Землёй») системе отсчёта у снаряда практически нет «восточного» импульса, тогда как поверхность Земли на конечной широте вращается на восток.
С учётом знака: земля «прокрутится» чуть на восток, а снаряд не имеет такого же восточного импульса — в итоге он упадёт западнее «идеальной» точки (если смотреть в системе координат, жёстко связанной с Землёй).
Часто в подобных задачах вспоминают про эффект Кориолиса, который даёт поперечный снос при движении по «широте» в северном полушарии. Однако здесь:
То есть, путешествуя строго вдоль оси (от полюса вниз), снаряд не испытывает самой «кореолисовой» поперечной силы. Главный эффект — именно то, что в месте приземления земляная поверхность движется восточнее, а снаряд (в инерциальной системе) нет.
Если не учитывать никакие другие факторы (атмосферу, мелкие поправки по гравитационному полю и т. д.), то из-за суточного вращения:
Таким образом, учёт вращения Земли слегка увеличивает общий «промах» (ещё десятки метров к эффектам кривизны и пр.); но при дальности полёта всего 8 км это всё равно относительно малая поправка.