Отношение объемов газа

Ниже приведён пошаговый разбор решения. Итоговый ответ:

1. Данные задачи

1. Имеется $1$ моль ($n=1$) идеального одноатомного газа.
2. Процесс сжатия происходит в два этапа:
   1. 1→2 — изобарический процесс ( $P=\mathrm{const}$ ).
   2. 2→3 — процесс с линейной зависимостью $P$ от $V$ (см. рисунок в условии).
3. Известны соотношения: $$\frac{V_1}{V_2} \;=\;\frac{V_2}{V_3}, \quad T_2 = T_3.$$ Обозначим это общее отношение за $$\beta \;=\;\frac{V_1}{V_2} \;=\;\frac{V_2}{V_3}.$$ Тогда $V_1 = \beta\,V_2$ и $V_3 = \tfrac{V_2}{\beta}.$
4. По условию, количество теплоты, отведённое от газа в процессе 1→2, в 3 раза больше работы сжатия, совершаемой над газом в процессе 2→3: $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\;3\,A_{2\to 3}.$$ При этом $Q_{1\to 2,\;\text{отв}}$ берётся по модулю (теплота «отводится», значит сама $Q_{1\to 2}$ будет отрицательной, но по условию используют положительное значение отведённой теплоты).

Нужно найти $\beta = \frac{V_1}{V_2}$.

2. Термодинамические соотношения

2.1. Теплоёмкости идеального одноатомного газа

Для одноатомного идеального газа:

2.2. Процесс 1→2 (изобарический)

1. Изобарность: $P_1 = P_2 \equiv P_{12}.$
2. Из уравнения Менделеева–Клапейрона: $$P_{12}\,V_1 \;=\;R\,T_1, \quad P_{12}\,V_2 \;=\;R\,T_2.$$ Поскольку $P_{12}$ одинаково, сразу получаем $$\frac{T_2}{T_1} \;=\; \frac{V_2}{V_1} \;=\; \frac{1}{\beta} \quad\Longrightarrow\quad T_2 \;=\;\frac{T_1}{\beta}.$$
3. Теплота в изобарическом процессе (на 1 моль): $$Q_{1\to 2} \;=\; n\,C_P\,(T_2 - T_1) \;=\; \frac{5}{2}R\,\bigl(T_2 - T_1\bigr).$$ Поскольку идёт сжатие и температура конечного состояния меньше ($T_2<T_1$), сама величина $Q_{1\to 2}$ получится отрицательной.
   Однако по модулю (т. е. «отведённая теплота») $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; \bigl|\,Q_{1\to 2}\bigr| \;=\; -\,Q_{1\to 2} \;=\; \frac{5}{2}R\,\bigl(T_1 - T_2\bigr).$$ С учётом $T_2 = \tfrac{T_1}{\beta}$: $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} \;=\; \frac{5}{2}R\,\Bigl(T_1 - \tfrac{T_1}{\beta}\Bigr) \;=\; \frac{5}{2}R\,T_1\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

2.3. Процесс 2→3 (линейная зависимость $P(V)$, при $T_2=T_3$)

1. Из условия $T_2 = T_3$ следует, что изменение внутренней энергии за процесс 2→3 равно нулю:

   $$\Delta U_{2\to 3} = 0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{2\to 3} \;+\; W_{2\to 3} \;=\;0.$$

   Здесь $W_{2\to 3}$ есть работа газа (по знаку обычно $W=\int P\,dV$), а работа над газом $A_{2\to 3} = -\,W_{2\to 3}$.
   Итого,

   Q_{2\to 3} \;=\; -\,W_{2\to 3} \;=\; -\,\int_{V_2}^{V_3} P\,dV, \quad A_{2\to 3} \;=\; -\,W_{2\to 3} \;=\; \int_{V_2}^{V_3} (-\,P)\,dV \;\;\text{(или попросту &laquo;плюс&raquo; по модулю)}.

   Поскольку идёт сжатие, $V_3 < V_2$, то работа над газом $A_{2\to 3}$ будет положительной.

2. Давление при переходе 2→3 линейно меняется от $P_2$ до $P_3$. Если изобразить $P(V)$ как отрезок прямой, то работа (по модулю работы газа) равна площади трапеции:

   $$W_{2\to 3} \;=\; \int_{V_2}^{V_3} P\,dV \;=\; \frac{(P_2 + P_3)}{2}\,\bigl(V_3 - V_2\bigr).$$

   Тогда работа над газом

   $$A_{2\to 3} \;=\; -\,W_{2\to 3} \;=\; \frac{(P_2 + P_3)}{2}\,\bigl(V_2 - V_3\bigr).$$

3. На состояниях 2 и 3 по уравнению состояния:

   $$P_2\,V_2 \;=\; R\,T_2, \quad P_3\,V_3 \;=\; R\,T_3.$$

   Но $T_2 = T_3 \equiv T$. Значит,

   $$P_2 \;=\; \frac{R\,T}{V_2}, \quad P_3 \;=\; \frac{R\,T}{V_3}.$$

   Тогда

   $$P_2 + P_3 \;=\; R\,T\, \Bigl(\tfrac{1}{V_2} + \tfrac{1}{V_3}\Bigr).$$

   А

   $$\bigl(V_2 - V_3\bigr) \;=\; V_2\Bigl(1 - \tfrac{V_3}{V_2}\Bigr) \;=\; V_2\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr), \quad \text{ведь } \frac{V_3}{V_2} = \frac{1}{\beta}.$$

   Подставляя это в выражение для $A_{2\to 3}$:

   $$A_{2\to 3} = \frac{R\,T}{2}\,\Bigl(\frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3}\Bigr)\;\bigl(V_2 - V_3\bigr).$$

   Но $\tfrac{1}{V_3} = \tfrac{\beta}{V_2}$. Тогда

   $$\frac{1}{V_2} + \frac{1}{V_3} = \frac{1}{V_2} + \frac{\beta}{V_2} = \frac{1 + \beta}{V_2},$$

   и

   $$V_2 - V_3 = V_2\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

   Следовательно,

   $$A_{2\to 3} \;=\; \frac{R\,T}{2}\,\frac{1 + \beta}{V_2}\,\, V_2 \Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr) = \frac{R\,T}{2}\,(1 + \beta)\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr).$$

   Так как $T = T_2 = \tfrac{T_1}{\beta}$, подставляем:

   $$A_{2\to 3} \;=\; \frac{R\,\bigl(T_1/\beta\bigr)}{2}\,\,(1 + \beta)\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr) = \frac{R\,T_1}{2}\, \frac{(1 + \beta)}{\beta}\, \Bigl(1 - \frac{1}{\beta}\Bigr).$$

   Удобнее раскрыть произведение $(1+\beta)\bigl(1-\tfrac{1}{\beta}\bigr)$.

   Заметим, что

   $$(1+\beta)\bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\bigr) \;=\; \bigl(\beta + 1\bigr)\frac{(\beta-1)}{\beta} \;=\; \frac{(\beta+1)(\beta-1)}{\beta} \;=\; \frac{\beta^2 -1}{\beta}.$$

   Тогда

   $$A_{2\to 3} = \frac{R\,T_1}{2} \,\frac{\beta^2 - 1}{\beta} \,\frac{1}{\beta} \;=\; \frac{R\,T_1}{2}\,\frac{\beta^2 - 1}{\beta^2} \;=\; \frac{R\,T_1}{2}\,\Bigl(1 - \frac{1}{\beta^2}\Bigr).$$

   (Можно было сразу сократить факторы — итог один.)

3. Условие $Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}$

Из предыдущих формул:

1. $$Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = \frac{5}{2}R\,T_1\,\Bigl(1 - \frac{1}{\beta}\Bigr).$$
2. $$A_{2\to 3} = \frac{R\,T_1}{2}\,\Bigl(1 - \frac{1}{\beta^2}\Bigr).$$

Подставляем в соотношение $\;Q_{1\to 2,\;\text{отв}} = 3\,A_{2\to 3}:$

Сократив общий множитель $\tfrac{R\,T_1}{2}$ (он отличен от нуля), получаем:

Раскроем скобки:

• Левая часть:
  $\;5\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta}\Bigr) = \frac{5(\beta - 1)}{\beta}.$

• Правая часть:
  (;3\Bigl(1 - \tfrac{1}{\beta^2}\Bigr) = 3,\frac{\beta^2 - 1}{\beta^2} = 3,\frac{(\beta - 1)(\beta + 1)}{\beta^2}.)

Таким образом,

Полагая $\beta \neq 1$ (иначе смысла в задаче нет), делим обе части на $(\beta - 1)$. Тогда:

Раскрываем справа:

4. Итог

Таким образом, искомое отношение объёмов равно $1{,}5$.