Теплоёмкость газа в процессе

Решение задачи

1. Дано в задаче:

   • Начальная температура газа (гелия): $T_1 = 200\,\text{K}$.
   • Конечный объём вдвое больше начального: $V_2 = 2\,V_1$.
   • Процесс описывается уравнением $p\,V^2 = \text{const}$.
   • От газа отведено количество теплоты $Q = 415\,\text{Дж}$ (то есть система потеряла 415 Дж).
   • Теплоёмкость в данном процессе постоянна и равна некоторому $C$, которое и требуется найти.

2. Определим связь между температурой и объёмом.

   Предположим, что гелий можно рассматривать как идеальный газ. Тогда по уравнению состояния:

   $$pV = nRT,$$

   а из условия $p\,V^2 = \text{const}$ следует

   $$p = \frac{k}{V^2}.$$

   Подставляя в уравнение идеального газа $p = \tfrac{nRT}{V}$, имеем:

   $$\frac{nRT}{V} = \frac{k}{V^2} \;\;\Longrightarrow\;\; nRT \,=\, k\,\frac{1}{V}.$$

   Но из $p\,V^2 = k$ также имеем $k = p_1 V_1^2 = p_2 V_2^2$ и т.д.
   Таким образом,

   $$nR\,T\,V = \text{const}.$$

   Из этого следует, что $T$ обратно пропорциональна $V$ при данном процессе:

   $$T \,\propto\, \frac{1}{V}.$$

3. Находим конечную температуру $T_2$.

   Если $V_2 = 2\,V_1$, то из соотношения $T V = \text{const}$ получаем:

   $$T_1\,V_1 = T_2\,V_2 \;\;\Longrightarrow\;\; T_2 = T_1\,\frac{V_1}{V_2} \;=\; T_1 \cdot \frac{1}{2}.$$

   При $T_1 = 200\,\text{K}$ это даёт:

   $$T_2 = \frac{200}{2} \;=\; 100\,\text{K}.$$

4. Суть «постоянной теплоёмкости» $C$.

   Сказано, что в данном процессе (связь $pV^2=\text{const}$) теплоёмкость газа остаётся постоянной и равна некоторому $C$.
   Это означает, что при изменении температуры от $T_1$ до $T_2$ количество теплоты, отданной (или полученной) газом, определяется как

   $$Q \;=\; C\,(T_2 - T_1).$$

5. Подстановка численных значений и знак теплоты.

   По условию «от газа отведено $Q = 415\,\text{Дж}$», то есть газ потерял 415 Дж.
   Если пользоваться стандартной термодинамической записью $Q = C\,\Delta T$, где $Q>0$ обычно означает приток теплоты в систему, то здесь система теряет теплоту, то есть $Q_\text{системы} = -415\,\text{Дж}$.
   При этом

   $$\Delta T = T_2 - T_1 = 100\,\text{K} - 200\,\text{K} = -100\,\text{K}.$$

   Следовательно, в формуле

   $$Q_\text{системы} = C\,\bigl(T_2 - T_1\bigr)$$

   нужно подставить $Q_\text{системы} = -415\,\text{Дж}$ и $\Delta T = -100\,\text{K}$:

   $$-415 \;=\; C \times (-100).$$

6. Вычисляем $C$.

   $$-415 \;=\; -100\,C \;\;\Longrightarrow\;\; C = \frac{-415}{-100} \;=\; 4{,}15\,\text{Дж/К}.$$

7. Ответ.

   $$\boxed{C = 4{,}15\,\text{Дж/К}.}$$

Примечание.
Часто бывает полезно сверить ответ через I закон термодинамики и непосредственно вычислить работу $W$ и изменение внутренней энергии $\Delta U$, однако задача упрощается именно благодаря тому, что теплоёмкость по условию постоянна, а температура меняется от 200 K до 100 K при отводе 415 Дж. Это напрямую даёт результат для $C$ из соотношения $Q = C\,\Delta T$.