Минимальное основание счисления

Câu hỏi

Найдите такое минимальное основание позиционной системы счисления
C, при котором выражение
0,7(17)
C
∗170
10
будет натуральным числом.

В ответе укажите натуральное число. Если такого основания не существует, в ответе напишите
NULL.

최소 기수 C 찾기

"0.7(17)_C"에서 17이 반복되는 부분을 해석하고 있어. 이 기수를 17이 반복되는 기수 C로 보니 최소 기수 C는 8로 계산되고 있어.

구체적으로 해석 중

"0.7(17)_C"의 명확한 의미를 이해하려고 시도하고 있어. 17이 기수 C에서 반복되는지 아닌지, 또는 다른 해석이 있는지 확인하고 있네.

다양한 해석 시도

기수 C에서 0.7(17)_C의 반복을 "0.717171..."로 간주하고 있어. 이 해석이 주어진 표현의 자연수 결과를 얻는 데 도움이 될 것 같아.

헷갈리는 점이 있네

$(7C +1)/(C^2 -1) \times 170$ 을 계산하고 있어. 기수 C가 8 이상이어야 하고, 170*(7C +1)은 (C^2 -1)로 나눠떨어져야 해.

8초 동안 생각

Минимальное основание системы счисления $C$ определяется следующим образом:

Рассмотрим выражение $0,7(17)_C$ . Предположим, что это периодическая дробь $0.\overline{71}_C$ , то есть $0.717171\ldots_C$ .

Переведём эту дробь в десятичную систему:

0.\overline{71}_C = \frac{7C + 1}{C^2 - 1}

Теперь умножим на 170:

\frac{7C + 1}{C^2 - 1} \times 170

Чтобы результат был натуральным числом, знаменатель $C^2 - 1$ должен делить числитель $170(7C + 1)$ .

Проверим минимальные возможные значения $C$ (учитывая, что цифры 7 и 1 должны быть допустимы, то есть $C \geq 8$ ):

Для $C = 8$ :

\frac{7 \times 8 + 1}{8^2 - 1} \times 170 = \frac{57}{63} \times 170 = \frac{9690}{63} = 154

Это натуральное число.

Таким образом, минимальное основание системы счисления $C$ равно 8.

Ответ:
8