함수 개수 구하기

주어진 집합 $X = \{-3, 0, 3\}$에 대해 함수 $f: X \rightarrow X$가 $f(x) = f(-x)$을 만족해야 합니다. 이를 만족하는 함수의 개수를 구해보겠습니다.

조건 분석

• 대칭 조건: $f(-3) = f(3)$
• 독립적인 값: $f(0)$과 $f(3)$ (또는 $f(-3)$)을 선택하면 나머지 값은 자동으로 정해집니다.

함수의 정의

함수 $f$는 다음과 같이 정의됩니다:

1. $f(-3) = f(3)$: 이 값은 집합 $X$의 원소 중 하나인 $-3$, $0$, $3$ 중에서 선택됩니다. 따라서 3가지 선택지가 있습니다.
2. $f(0)$: 이 값 또한 집합 $X$의 원소 중 하나를 선택하므로 3가지 선택지가 있습니다.

경우의 수 계산

• $f(3)$ (또는 $f(-3)$)을 선택하는 경우의 수: 3가지
• $f(0)$을 선택하는 경우의 수: 3가지

따라서 총 가능한 함수의 개수는:

$$3 \times 3 = 9$$

결론

조건을 만족하는 함수는 총 9개 존재합니다.

답: 9

사용자가 제시한 함수:

• $f(3) = 3$
• $f(-3) = 0$
• $f(0) = -3$

이 함수는 조건 $f(x) - f(-x) = 0$을 만족하지 않습니다. 왜냐하면, 예를 들어 $x = 3$일 때:

$$f(3) - f(-3) = 3 - 0 = 3 \neq 0$$

따라서 이 함수는 조건을 만족하지 않으며, 따라서 조건을 만족하는 함수의 개수에 포함되지 않습니다.

조건 재확인

주어진 조건은 모든 $x \in X$에 대해 $f(x) = f(-x)$을 만족해야 합니다. 즉, 함수 $f$는 다음과 같은 특성을 가져야 합니다:

• $f(3) = f(-3)$
• $f(0) = f(0)$ (자기 자신과 같아야 하므로, 사실상 아무 제약이 없습니다.)

가능한 함수의 개수 계산

1. 쌍 $(3, -3)$에 대한 선택:
   • $f(3) = f(-3)$은 $X$의 원소인 $-3$, $0$, $3$ 중 하나를 선택할 수 있습니다.
   • 따라서 3가지 선택지가 있습니다.
2. $f(0)$에 대한 선택:
   • $f(0)$ 역시 $X$의 원소 중 하나를 선택할 수 있습니다.
   • 따라서 3가지 선택지가 있습니다.

총 경우의 수

• $f(3) = f(-3)$ 선택: 3가지
• $f(0)$ 선택: 3가지

따라서 총 가능한 함수의 개수는:

$$3 \times 3 = 9 \text{개}$$

결론

조건 $f(x) = f(-x)$을 만족하는 함수는 총 9개 존재합니다. 사용자가 제시한 함수는 이 조건을 만족하지 않으므로, 9개의 경우에 포함되지 않습니다.

답: 9개