Решить с рисункоамт задачи по геоме

Конечно. Ниже решены все 4 задачи, и я укажу, что именно нужно дорисовать на каждом рисунке.

1. Лежат ли прямые $a,b,c$ в одной плоскости?

Дано:

$$a\cap\alpha=M,\qquad b\cap\alpha=K,\qquad c\cap\alpha=P.$$

На рисунке точки $M,K,P$ не лежат на одной прямой.

Предположим, что $a,b,c$ лежат в некоторой плоскости $\gamma$. Тогда плоскости $\gamma$ и $\alpha$ пересекались бы по некоторой прямой. На этой прямой должны лежать все три точки $M,K,P$, потому что каждая из них принадлежит и $\alpha$, и $\gamma$.

Но $M,K,P$ не коллинеарны.

$$\boxed{\text{Прямые }a,b,c\text{ не лежат в одной плоскости.}}$$

Что дорисовать: проведите в плоскости $\alpha$ прямую $MK$. Будет видно, что $P\notin MK$.

---

2. Доказать, что прямые $a$ и $b$ не лежат в одной плоскости

Обозначим:

$$A=a\cap c,\qquad B=b\cap c.$$

По рисунку $A\ne B$.

Предположим, что существует плоскость $\gamma$, в которой лежат и $a$, и $b$.

Точки $A$ и $B$ тогда принадлежат $\gamma$. Значит, вся прямая $AB$, то есть прямая $c$, тоже лежит в $\gamma$:

$$c\subset\gamma.$$

Но $a$ и $c$ — две пересекающиеся прямые плоскости $\alpha$. Они однозначно определяют плоскость, поэтому

$$\gamma=\alpha.$$

Аналогично $b$ и $c$ лежат в $\beta$, следовательно,

$$\gamma=\beta.$$

Получаем $\alpha=\beta$, что невозможно, так как по условию это две различные пересекающиеся плоскости.

Следовательно,

$$\boxed{a\text{ и }b\text{ не лежат в одной плоскости}}$$

то есть это скрещивающиеся прямые.

На рисунке: подпишите точки пересечения с $c$:

text
             A                 B
c  ----------●-----------------●----------
             a                 b

---

3. Построить точку пересечения прямой $m$ с плоскостью $\beta$

Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $l$:

$$\alpha\cap\beta=l.$$

При этом

$$m\subset\alpha.$$

Поэтому, чтобы попасть из прямой $m$ в плоскость $\beta$, нужно найти точку, где $m$ пересекает общую прямую плоскостей $l$.

Построение: продолжаем прямую $m$ до пересечения с $l$. Обозначим точку пересечения $X$:

$$\boxed{X=m\cap l}.$$

Так как $X\in l$, а $l\subset\beta$, то $X\in\beta$.

Следовательно,

$$\boxed{m\cap\beta=X}.$$

Схема:

text
      плоскость α

 m  -------------\
                   \
                    ● X
 l  ----------------●----------------
              плоскость β

То есть на вашем рисунке просто продолжите $m$ до прямой $l$.

---

4. Построить линии пересечения плоскости $ABC$ с $\alpha$ и $\beta$

Обозначим плоскость, проходящую через $A,B,C$, через $\gamma$:

$$\gamma=(ABC).$$

Точки $A$ и $B$ принадлежат одновременно плоскости $\alpha$ и плоскости $\gamma$. Поэтому линия пересечения этих плоскостей проходит через $A$ и $B$:

$$\boxed{\gamma\cap\alpha=AB}.$$

Теперь продолжим прямую $AB$ до пересечения с общей прямой плоскостей $a$.

Обозначим:

$$X=AB\cap a.$$

Точка $X$ принадлежит плоскости $\gamma$, потому что $X\in AB$, и плоскости $\beta$, потому что $X\in a$.

Точка $C$ также принадлежит одновременно $\gamma$ и $\beta$.

Значит, прямая через две общие точки $C$ и $X$ является линией пересечения:

$$\boxed{\gamma\cap\beta=CX}.$$

Итог:

$$\boxed{(ABC)\cap\alpha=AB}$$ $$\boxed{(ABC)\cap\beta=CX,\quad X=AB\cap a}$$

Что дорисовать:

text
        плоскость α

     A ●
        \____________ ● B
                       \
                        \
a  ---------------------● X----------------
                         \
                          \
                           ● C
                         плоскость β

То есть в №4 нужно сделать всего три действия: провести $AB$, продолжить $AB$ до пересечения с $a$ и получить $X$, затем соединить $X$ с $C$.