В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 4 найди косинус у...

問題

В кубе
ABCDA1B1C1D1 с ребром 4 найди косинус угла между диагональю A1C и плоскостью (B1D1B)

思考

Solving for the angle between a cube’s diagonal and plane

The task seems to be solving for the angle between diagonal A1C of the cube and the plane B1D1B. I'll use coordinates for the points to calculate the vectors. Then, I'll compute the normal to the plane and determine the cosine of the angle between it and the diagonal using the dot product. Adjusting for notation is important as well.

Thought for 6s

回答

Ответ: $\boxed{\frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Возьмём координаты:

A(0,0,0),\quad B(4,0,0),\quad C(4,4,0),\quad A_1(0,0,4)

Тогда вектор диагонали:

\vec{A_1C}=(4,4,-4)

Плоскость $(B_1D_1B)$ проходит через точки $B_1(4,0,4)$ , $D_1(0,4,4)$ , $B(4,0,0)$ . Её уравнение:

x+y=4

Нормаль к плоскости:

\vec n=(1,1,0)

Синус угла $\alpha$ между прямой и плоскостью равен косинусу угла между прямой и нормалью:

\sin\alpha=\frac{|\vec{A_1C}\cdot \vec n|}{|\vec{A_1C}|\cdot|\vec n|}

\sin\alpha=\frac{|4+4|}{4\sqrt3\cdot \sqrt2} =\frac{8}{4\sqrt6} =\frac{2}{\sqrt6}

Тогда:

\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha} =\sqrt{1-\frac{4}{6}} =\sqrt{\frac13} =\frac{\sqrt3}{3}

\boxed{\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{3}}

問題

思考

回答

分享這個問答