Мне нужно сделать задачу. Вот ее условие: Элемент ...

Да, здесь нужно разложить оба порядка в каноническое разложение и для каждого простого числа взять максимальную степень.

Пусть

$$m=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}, \qquad n=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k},$$

где если какого-то простого числа нет в разложении $m$ или $n$, то соответствующая степень равна $0$.

Тогда

$$\operatorname{НОК}(m,n)=p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)}.$$

Нужно построить элемент порядка именно такого вида.

Для каждого простого $p_i$ берём элемент, который даёт большую степень $p_i$.

Если $\alpha_i \ge \beta_i$, то берём из элемента $a$:

$$x_i=a^{m/p_i^{\alpha_i}}.$$

Так как порядок $a$ равен $m$, то порядок элемента $x_i$ равен

$$p_i^{\alpha_i}.$$

Если же $\beta_i>\alpha_i$, то берём из элемента $b$:

$$x_i=b^{n/p_i^{\beta_i}},$$

и тогда порядок $x_i$ равен

$$p_i^{\beta_i}.$$

Значит, в любом случае

$$\operatorname{ord}(x_i)=p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}.$$

Теперь рассмотрим произведение

$$c=x_1x_2\cdots x_k.$$

Группа абелева, поэтому все элементы $x_i$ коммутируют. Кроме того, их порядки попарно взаимно просты, потому что это степени разных простых чисел:

$$\operatorname{ord}(x_i)=p_i^{\max(\alpha_i,\beta_i)}.$$

А если элементы коммутируют и имеют попарно взаимно простые порядки, то порядок их произведения равен произведению их порядков. Поэтому

$$\operatorname{ord}(c) = \operatorname{ord}(x_1)\operatorname{ord}(x_2)\cdots \operatorname{ord}(x_k).$$

Следовательно,

$$\operatorname{ord}(c) = p_1^{\max(\alpha_1,\beta_1)} p_2^{\max(\alpha_2,\beta_2)} \cdots p_k^{\max(\alpha_k,\beta_k)} = \operatorname{НОК}(m,n).$$

Значит, в абелевой группе действительно существует элемент $c$, порядок которого равен $\operatorname{НОК}(m,n)$.