Ниже — подробные решения всех задач из вашего листка по СТО. Я ориентировался на задачи из разделов «Задачи на урок» и «Задачи по теме» из загруженного файла. (Ф11б - ДЗ - СТО.pdf)

---

Что нам понадобится

В этой теме используются две основные формулы.

1. Замедление времени

Если часы движутся со скоростью $v$, то для неподвижного наблюдателя время идёт медленнее:

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

где

• $t_0$ — собственное время (время в системе, где часы покоятся),
• $t$ — время в другой системе отсчёта,
• $c$ — скорость света.

---

2. Сокращение длины

Если тело движется со скоростью $v$, то его длина вдоль движения уменьшается:

$$\ell=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

где

• $\ell_0$ — собственная длина (в системе, где тело покоится),
• $\ell$ — длина движущегося тела.

---

Задачи на урок

1) Световые часы на ракете

Условие:
На ракете световые часы имеют период $t_0=1$ мкс.
Ракета движется со скоростью $v=\frac{c}{3}$.
Найти период часов для земного наблюдателя.

Решение

Для земного наблюдателя часы на ракете движутся, значит, их ход замедляется.
Используем формулу:

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставим $v=\frac{c}{3}$:

$$t=\frac{1\text{ мкс}}{\sqrt{1-\frac{1}{9}}} =\frac{1\text{ мкс}}{\sqrt{\frac{8}{9}}} =\frac{1\text{ мкс}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$$ $$t=1\cdot \frac{3}{2\sqrt{2}}\text{ мкс}\approx 1{,}06\text{ мкс}$$

Ответ:

$$\boxed{1{,}06\text{ мкс}}$$

---

2) Шест длиной 10 м должен сократиться до 4 м

Условие:
Собственная длина шеста $\ell_0=10$ м.
В движении его длина $\ell=4$ м.
Найти скорость.

Решение

Используем формулу сокращения длины:

$$\ell=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Подставим значения:

$$4=10\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Разделим на 10:

$$0{,}4=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Возведём в квадрат:

$$0{,}16=1-\frac{v^2}{c^2}$$ $$\frac{v^2}{c^2}=1-0{,}16=0{,}84$$ $$\frac{v}{c}=\sqrt{0{,}84}\approx 0{,}916$$ $$v\approx 0{,}916c$$

Ответ:

$$\boxed{v\approx 0{,}92c}$$

---

Задачи по теме

№2.1

Условие:
Во сколько раз увеличивается продолжительность существования частицы при скорости $v=0{,}99c$?

Решение

Во сколько раз увеличивается время жизни — это коэффициент

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставляем:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}99^2}} =\frac{1}{\sqrt{1-0{,}9801}} =\frac{1}{\sqrt{0{,}0199}}$$ $$\gamma\approx \frac{1}{0{,}1411}\approx 7{,}09$$

Ответ:

$$\boxed{\text{в }7{,}1\text{ раза}}$$

---

№2.2

Условие:
Частица движется со скоростью $v=0{,}95c$.
Какой промежуток времени $t$ соответствует $1$ мкс собственного времени?

Решение

Собственное время:

$$t_0=1\text{ мкс}$$

Используем формулу замедления времени:

$$t=\frac{t_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставляем:

$$t=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}95^2}}\text{ мкс} =\frac{1}{\sqrt{1-0{,}9025}}\text{ мкс} =\frac{1}{\sqrt{0{,}0975}}\text{ мкс}$$ $$t\approx \frac{1}{0{,}312}\text{ мкс}\approx 3{,}20\text{ мкс}$$

Ответ:

$$\boxed{t\approx 3{,}2\text{ мкс}}$$

---

№2.3

Условие:
Ракета летит со скоростью $v=0{,}99c$.
Расстояние до звезды $s=40$ световых лет.
Найти:

• $t_1$ — время для жителя Земли;
• $t_2$ — время для космонавтов.

Путь: до звезды и обратно.

---

1. Время для жителя Земли

Для Земли расстояние туда и обратно:

$$S=2s=80\text{ св. лет}$$

Скорость ракеты:

$$v=0{,}99c$$

Так как свет проходит 1 световой год за 1 год, то удобно считать:

$$t_1=\frac{80}{0{,}99}\text{ лет}\approx 80{,}81\text{ лет}$$

---

2. Время для космонавтов

На ракете время идёт медленнее:

$$t_2=t_1\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Подставим:

$$t_2=80{,}81\sqrt{1-0{,}99^2} =80{,}81\sqrt{0{,}0199}$$ $$t_2\approx 80{,}81\cdot 0{,}1411\approx 11{,}4\text{ лет}$$

Ответ:

$$\boxed{t_1\approx 80{,}8\text{ лет}}$$ $$\boxed{t_2\approx 11{,}4\text{ лет}}$$

---

№2.4

Условие:
Собственная длина стержня $\ell_0=1$ м.
Скорость $v=0{,}6c$.
Найти длину движущегося стержня.

Решение

Используем формулу сокращения длины:

$$\ell=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Подставим:

$$\ell=1\cdot \sqrt{1-0{,}6^2} = \sqrt{1-0{,}36} = \sqrt{0{,}64} =0{,}8\text{ м}$$

Ответ:

$$\boxed{0{,}8\text{ м}}$$

---

№2.5

Условие:
При какой скорости сокращение длины составит $25\%$?

Что значит «сокращение на 25%»?

Это значит, что новая длина составляет $75\%$ от первоначальной:

$$\ell=0{,}75\ell_0$$

Решение

Используем формулу:

$$\ell=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Подставим:

$$0{,}75\ell_0=\ell_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Сокращаем $\ell_0$:

$$0{,}75=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Возводим в квадрат:

$$0{,}5625=1-\frac{v^2}{c^2}$$ $$\frac{v^2}{c^2}=1-0{,}5625=0{,}4375$$ $$\frac{v}{c}=\sqrt{0{,}4375}\approx 0{,}661$$

Ответ:

$$\boxed{v\approx 0{,}66c}$$

---

№2.6

Условие:
Спутник движется со скоростью $v=7{,}9$ км/с.
За время $\tau_0=0{,}5$ года найти, на сколько отстанут часы на спутнике от земных.

Решение

Скорость спутника:

$$v=7{,}9\text{ км/с}=7900\text{ м/с}$$

Скорость света:

$$c=3\cdot 10^8\text{ м/с}$$

Время на Земле:

$$t=0{,}5\text{ года}$$

Переведём в секунды:

$$t=0{,}5\cdot 365\cdot 24\cdot 3600=15768000\text{ с}$$

Время на спутнике:

$$t' = t\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Отставание часов:

$$\Delta t=t-t'=t\left(1-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)$$

Сначала найдём дробь:

$$\frac{v^2}{c^2}=\left(\frac{7900}{3\cdot10^8}\right)^2\approx 6{,}94\cdot 10^{-10}$$

Так как число очень маленькое, отставание тоже будет очень маленьким. Подставим:

$$\Delta t \approx 15768000\cdot 3{,}47\cdot 10^{-10}\text{ с}$$ $$\Delta t\approx 0{,}0055\text{ с}$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta t\approx 0{,}0055\text{ с}}$$

То есть примерно

$$\boxed{5{,}5\text{ мс}}$$

---

№2.7

Условие:
Фотонная ракета движется со скоростью $v=0{,}6c$.
Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя?

Решение

Ищем коэффициент замедления времени:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставим:

$$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}6^2}} =\frac{1}{\sqrt{0{,}64}} =\frac{1}{0{,}8} =1{,}25$$

Это значит, что для земного наблюдателя время в ракете идёт медленнее в $1{,}25$ раза.

Ответ:

$$\boxed{\text{в }1{,}25\text{ раза}}$$

---

№2.8

Условие:
Собственное время жизни мю-мезона:

$$\tau_0=2\text{ мкс}$$

В лабораторной системе он пролетел расстояние:

$$\ell=6\text{ км}$$

Найти скорость в долях скорости света.

Решение

В лабораторной системе мю-мезон живёт дольше:

$$t=\frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

За это время он проходит путь:

$$\ell=vt$$

Подставим выражение для $t$:

$$\ell=v\cdot \frac{\tau_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставим числа.
Переведём единицы:

$$\ell=6000\text{ м},\qquad \tau_0=2\cdot10^{-6}\text{ с}$$

Получаем:

$$6000=v\cdot \frac{2\cdot10^{-6}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Удобно обозначить:

$$v=\beta c$$

Тогда:

$$6000=\beta c\cdot \frac{2\cdot10^{-6}}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

Берём $c=3\cdot10^8$ м/с:

$$c\cdot 2\cdot10^{-6}=600$$

Значит:

$$6000=\frac{600\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

Делим на 600:

$$10=\frac{\beta}{\sqrt{1-\beta^2}}$$

Возводим в квадрат:

$$100=\frac{\beta^2}{1-\beta^2}$$ $$100(1-\beta^2)=\beta^2$$ $$100-100\beta^2=\beta^2$$ $$100=101\beta^2$$ $$\beta^2=\frac{100}{101}$$ $$\beta=\sqrt{\frac{100}{101}}\approx 0{,}995$$

Значит,

$$v\approx 0{,}995c$$

Ответ:

$$\boxed{v\approx 0{,}995c}$$

---

№2.9

Условие:
Есть прямоугольный треугольник.
Катет:

$$a=5{,}0\text{ м}$$

Угол между этим катетом и гипотенузой:

$$\alpha=30^\circ$$

Система $K'$ движется вдоль катета $a$ со скоростью

$$v=0{,}866c$$

Найти:

1. угол $\alpha'$;
2. длину гипотенузы $\ell'$ и её отношение к собственной длине.

---

Шаг 1. Найдём второй катет и гипотенузу в собственной системе

Так как угол между катетом $a$ и гипотенузой равен $30^\circ$, то:

$$\cos\alpha=\frac{a}{\ell}$$ $$\ell=\frac{a}{\cos30^\circ} =\frac{5}{\sqrt{3}/2} =\frac{10}{\sqrt{3}}\text{ м}$$

Теперь второй катет:

$$\tan30^\circ=\frac{b}{a}$$ $$b=a\tan30^\circ=5\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{3}}\text{ м}$$

---

Шаг 2. Что изменится в движущейся системе?

Система движется вдоль катета $a$.
Значит:

• размер вдоль движения сокращается;
• размер поперёк движения не меняется.

Скорость:

$$v=0{,}866c\approx \frac{\sqrt{3}}{2}c$$

Тогда:

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} =\sqrt{1-0{,}866^2} \approx \sqrt{0{,}25}=0{,}5$$

Следовательно,

$$a'=a\cdot 0{,}5=5\cdot 0{,}5=2{,}5\text{ м}$$

А второй катет не меняется:

$$b'=b=\frac{5}{\sqrt{3}}\text{ м}$$

---

1. Найдём угол $\alpha'$

В новой системе:

$$\tan\alpha'=\frac{b'}{a'}$$ $$\tan\alpha'=\frac{5/\sqrt{3}}{2{,}5}=\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1{,}155$$ $$\alpha'=\arctan(1{,}155)\approx 49^\circ$$

Ответ на пункт 1:

$$\boxed{\alpha'\approx 49^\circ}$$

---

2. Найдём новую длину гипотенузы

По теореме Пифагора:

$$\ell'=\sqrt{a'^2+b'^2}$$ $$\ell'=\sqrt{2{,}5^2+\left(\frac{5}{\sqrt{3}}\right)^2}$$ $$\ell'=\sqrt{6{,}25+\frac{25}{3}} =\sqrt{\frac{75+100}{12}} =\sqrt{\frac{175}{12}} \approx 3{,}82\text{ м}$$

Собственная длина гипотенузы:

$$\ell_0=\ell=\frac{10}{\sqrt{3}}\approx 5{,}77\text{ м}$$

Отношение:

$$\frac{\ell'}{\ell_0}\approx \frac{3{,}82}{5{,}77}\approx 0{,}661$$

Ответ на пункт 2:

$$\boxed{\ell'\approx 3{,}82\text{ м}}$$ $$\boxed{\frac{\ell'}{\ell_0}\approx 0{,}661}$$

---

№2.10

Условие:
Стержень движется со скоростью

$$v=\frac{c}{2}$$

Его длина в неподвижной системе:

$$\ell=1{,}00\text{ м}$$

Угол между стержнем и направлением движения:

$$\theta=45^\circ$$

Найти собственную длину стержня $\ell_0$.

---

Идея решения

Стержень расположен под углом.
Значит, нужно разложить его длину на две составляющие:

• вдоль движения;
• перпендикулярно движению.

Поперечная часть не меняется,
а продольная сокращается.

---

Шаг 1. Разложим длину стержня на компоненты

$$\ell_\parallel=\ell\cos\theta$$ $$\ell_\perp=\ell\sin\theta$$

Так как $\ell=1$ м и $\theta=45^\circ$, то

$$\ell_\parallel=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\text{ м}$$ $$\ell_\perp=1\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\frac{1}{\sqrt2}\text{ м}$$

---

Шаг 2. Найдём собственную продольную составляющую

В движении продольная часть сократилась:

$$\ell_\parallel=\ell_{0\parallel}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$$

Отсюда

$$\ell_{0\parallel}=\frac{\ell_\parallel}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$

Подставим $v=\frac{c}{2}$:

$$\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}} =\sqrt{1-\frac{1}{4}} =\sqrt{\frac{3}{4}} =\frac{\sqrt3}{2}$$

Тогда

$$\ell_{0\parallel}=\frac{1/\sqrt2}{\sqrt3/2} =\frac{2}{\sqrt6} \approx 0{,}816\text{ м}$$

---

Шаг 3. Поперечная составляющая в собственной системе

Она не меняется:

$$\ell_{0\perp}=\ell_\perp=\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}707\text{ м}$$

---

Шаг 4. Найдём собственную длину стержня

Теперь снова используем теорему Пифагора:

$$\ell_0=\sqrt{\ell_{0\parallel}^2+\ell_{0\perp}^2}$$ $$\ell_0=\sqrt{\left(\frac{2}{\sqrt6}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt2}\right)^2}$$ $$\ell_0=\sqrt{\frac{4}{6}+\frac{1}{2}} =\sqrt{\frac{2}{3}+\frac{1}{2}} =\sqrt{\frac{4+3}{6}} =\sqrt{\frac{7}{6}}$$ $$\ell_0\approx 1{,}08\text{ м}$$

Ответ:

$$\boxed{\ell_0\approx 1{,}08\text{ м}}$$

---

Короткие ответы для проверки

Задачи на урок:

1. $\boxed{1{,}06\text{ мкс}}$
2. $\boxed{0{,}92c}$

Задачи по теме:

• 2.1: $\boxed{7{,}1\text{ раза}}$
• 2.2: $\boxed{3{,}2\text{ мкс}}$
• 2.3: $\boxed{t_1\approx 80{,}8\text{ лет},\; t_2\approx 11{,}4\text{ лет}}$
• 2.4: $\boxed{0{,}8\text{ м}}$
• 2.5: $\boxed{0{,}66c}$
• 2.6: $\boxed{0{,}0055\text{ с}\approx 5{,}5\text{ мс}}$
• 2.7: $\boxed{1{,}25\text{ раза}}$
• 2.8: $\boxed{0{,}995c}$
• 2.9: $\boxed{\alpha'\approx 49^\circ,\; \ell'\approx 3{,}82\text{ м},\; \ell'/\ell_0\approx 0{,}661}$
• 2.10: $\boxed{1{,}08\text{ м}}$

Могу следующим сообщением оформить всё это совсем «под тетрадь» — без лишней теории, только аккуратные готовые решения по пунктам.