**提示词：** “你是一个资深的高中数学老师。请帮我收集 8 道经典的**排列问题**。 **核心...

下面给你一套可直接用于课堂训练的 8 道“定序问题”经典排列题。默认都是“排成一排”，且所有元素都互不相同。

先记一个总思路：

• 解法一（除法/消序法）：先算满足附加条件下的总排法，再除以定序元素内部的全排列数。
• 解法二（选位法/空位法）：先给定序元素选位置，再按规定顺序填入，最后排列剩余元素。

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1.【基础】纯定序

6 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己排成一排，要求 甲在乙的左边，乙在丙的左边。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

6 人全排列共有

$$A_6^6=6!$$

其中甲、乙、丙三人内部共有

$$A_3^3=3!$$

种相对次序，但只有 1 种满足“甲在乙左，乙在丙左”。

所以排法数为

$$\frac{A_6^6}{A_3^3} =\frac{6!}{3!} =120$$

解法二（选位法/空位法）

先从 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

选好后，这 3 个位置只能按从左到右依次放甲、乙、丙；剩余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$C_6^3\cdot A_3^3 =20\times 6 =120$$

答案： $\;120$ 种。

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2.【基础】纯定序

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚排成一排，要求 甲、乙、丙、丁从左到右依次排列。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

7 人全排列共有

$$A_7^7=7!$$

甲、乙、丙、丁四人内部共有

$$A_4^4=4!$$

种排列，但只有 1 种满足题意。

所以排法数为

$$\frac{A_7^7}{A_4^4} =\frac{7!}{4!} =210$$

解法二（选位法/空位法）

先从 7 个位置中选 4 个给甲、乙、丙、丁：

$$C_7^4$$

选好后按从左到右依次放甲、乙、丙、丁；剩余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$C_7^4\cdot A_3^3 =35\times 6 =210$$

答案： $\;210$ 种。

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3.【中等】定序 + 某人不能站两端

7 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁不能站在两端。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

先处理“丁不能站两端”。
丁只能站中间 5 个位置之一，所以先有

$$5\cdot A_6^6$$

种排法。

其中甲、乙、丙内部共有

$$A_3^3$$

种次序，只有 1 种符合要求。

所以排法数为

$$\frac{5\cdot A_6^6}{A_3^3} =\frac{5\cdot 6!}{3!} =600$$

解法二（选位法/空位法）

先给丁选位置：中间 5 个位置可选，故有

$$5$$

种。

再从剩下的 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

并按从左到右放甲、乙、丙；其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$5\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =5\times 20\times 6 =600$$

答案： $\;600$ 种。

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4.【中等】定序 + 另外两人必须相邻

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁、戊必须相邻。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

把“丁、戊”看成一个整体，则共有 7 个元素排成一排，且丁、戊内部可交换：

$$A_7^7\cdot A_2^2$$

其中甲、乙、丙内部共有

$$A_3^3$$

种顺序，只有 1 种符合题意。

所以排法数为

$$\frac{A_7^7\cdot A_2^2}{A_3^3} =\frac{7!\cdot 2!}{3!} =1680$$

解法二（选位法/空位法）

先给“丁、戊”选一段相邻位置。
8 个位置中相邻的两格共有 7 段，且丁、戊内部有

$$A_2^2$$

种排法。

再从剩余 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

并按从左到右放甲、乙、丙；剩余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$7\cdot A_2^2\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =7\times 2\times 20\times 6 =1680$$

答案： $\;1680$ 种。

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5.【中等】定序 + 定序元素本身必须相邻

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一排，要求 甲、乙、丙三人必须相邻，且从左到右依次为甲、乙、丙。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

先只要求“甲、乙、丙相邻”，不要求内部次序。把三人看成一个整体，则与另外 5 人共 6 个元素排列：

$$A_6^6$$

而甲、乙、丙内部共有

$$A_3^3$$

种排法；题目只允许其中 1 种。

所以排法数为

$$\frac{A_6^6\cdot A_3^3}{A_3^3} =A_6^6 =6! =720$$

解法二（选位法/空位法）

甲、乙、丙要占一段连续的 3 个位置。
在 8 个位置中，这样的连续 3 格共有 6 段。

每选定一段后，甲、乙、丙的顺序已经固定；其余 5 人全排列：

$$A_5^5$$

所以排法数为

$$6\cdot A_5^5 =6\times 5! =720$$

答案： $\;720$ 种。

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6.【中等】定序 + 两人站两端

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁、戊站在最左端和最右端。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

先安排两端：丁、戊站两端共有

$$A_2^2$$

种安排方式。

剩余 6 人排中间 6 个位置共有

$$A_6^6$$

种，其中甲、乙、丙内部有

$$A_3^3$$

种次序，只有 1 种符合题意。

所以排法数为

$$\frac{A_2^2\cdot A_6^6}{A_3^3} =\frac{2!\cdot 6!}{3!} =240$$

解法二（选位法/空位法）

先把丁、戊放在两端：

$$A_2^2$$

种。

再从中间 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

并按从左到右放甲、乙、丙；其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$A_2^2\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =2\times 20\times 6 =240$$

答案： $\;240$ 种。

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7.【中等】两组元素同时定序

8 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，同时 丁在戊左边。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

8 人全排列共有

$$A_8^8$$

甲、乙、丙内部共有

$$A_3^3$$

种次序；丁、戊内部共有

$$A_2^2$$

种次序。每组都只保留 1 种符合题意。

所以排法数为

$$\frac{A_8^8}{A_3^3\cdot A_2^2} =\frac{8!}{3!\cdot 2!} =3360$$

解法二（选位法/空位法）

先从 8 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_8^3$$

并按从左到右放甲、乙、丙。

再从剩余 5 个位置中选 2 个给丁、戊：

$$C_5^2$$

并按从左到右放丁、戊。

最后剩余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$C_8^3\cdot C_5^2\cdot A_3^3 =56\times 10\times 6 =3360$$

答案： $\;3360$ 种。

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8.【中等】定序 + 另外三人必须相邻

9 名同学甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬排成一排，要求 甲在乙左边，乙在丙左边，且 丁、戊、己三人必须相邻。求不同排法数。

解法一（除法/消序法）

把“丁、戊、己”看成一个整体，则与其余 6 人共 7 个元素排列：

$$A_7^7$$

而丁、戊、己内部可排列

$$A_3^3$$

种。

与此同时，甲、乙、丙内部有

$$A_3^3$$

种次序，只有 1 种符合“甲在乙左，乙在丙左”。

所以排法数为

$$\frac{A_7^7\cdot A_3^3}{A_3^3} =7! =5040$$

解法二（选位法/空位法）

先给“丁、戊、己”选一段连续 3 个位置。
在 9 个位置中，这样的连续 3 格共有 7 段；内部排列有

$$A_3^3$$

种。

再从剩余 6 个位置中选 3 个给甲、乙、丙：

$$C_6^3$$

并按从左到右放甲、乙、丙；其余 3 人全排列：

$$A_3^3$$

所以排法数为

$$7\cdot A_3^3\cdot C_6^3\cdot A_3^3 =7\times 6\times 20\times 6 =5040$$

答案： $\;5040$ 种。

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这 8 道题从“纯定序”到“定序 + 常规附加条件”，基本覆盖了高中排列题里最经典的出法。