приведи конкретный пример что вот есть конкретная ...

Ниже — ровно то, что вы описали: берём только k пар правых/левых собственных векторов (никакого дополнения до базиса), и нормируем их так, чтобы

$$W_k^{\mathsf T}V_k = I_k$$

где $V_k=[v_1\,\dots\,v_k]\in\mathbb R^{n\times k}$ — столбцы правых СВ, а $W_k^{\mathsf T}\in\mathbb R^{k\times n}$ — строки левых СВ.

Для комплексного случая вместо $(\cdot)^{\mathsf T}$ надо ставить $(\cdot)^{\mathsf H}$ (сопряжённое транспонирование).

---

1) Ключевое: какая “система” задаёт нормировку

Вы хотите, чтобы выполнялось $w_i^{\mathsf T}v_j=\delta_{ij}$ для $i,j=1..k$. Это и есть система нормировки:

$$\begin{cases} w_1^{\mathsf T} v_1 = 1\\ w_1^{\mathsf T} v_2 = 0\\ \vdots\\ w_k^{\mathsf T} v_k = 1 \end{cases} \quad\Longleftrightarrow\quad W_k^{\mathsf T}V_k = I_k.$$

Дальше два сценария:

• Собственные значения разные (обычно): тогда автоматически $w_i^{\mathsf T}v_j=0$ при $i\neq j$, и нормировка сводится к масштабированию каждого $w_i$ так, чтобы $w_i^{\mathsf T}v_i=1$.
• Есть кратное собственное значение: тогда внутри кратного подпространства “перемешивание” возможно, и в общем случае надо решать полную k×k систему (матрицу Грама/сопряжённости) и инвертировать её.

Ниже — два численных примера, чтобы это было видно руками.

---

2) Пример A: $k=2$, два разных собственных числа (нормировка = просто масштабы)

Возьмём матрицу (не симметричную, но простую):

$$A=\begin{pmatrix} 1&1&0\\ 0&-2&1\\ 0&0&3 \end{pmatrix}, \quad \lambda\in\{1,-2,3\}.$$

Пусть “двигаем” $k=2$ моды с $\lambda_1=1$ и $\lambda_2=-2$.

Правые собственные векторы:

• для $\lambda_1=1$: $v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$
• для $\lambda_2=-2$: можно взять $v_2=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}$

Левые собственные векторы — это решения $w^{\mathsf T}A=\lambda w^{\mathsf T}$, эквивалентно $(A^{\mathsf T}-\lambda I)w=0$. Получаются (как столбцы для $A^{\mathsf T}$):

• для $\lambda_1=1$: $\tilde w_1=\begin{pmatrix}-6\\-2\\1\end{pmatrix}$
• для $\lambda_2=-2$: $\tilde w_2=\begin{pmatrix}0\\-5\\1\end{pmatrix}$

Проверка “вне диагонали” (и это важно):
$\tilde w_1^{\mathsf T}v_2=0$, $\tilde w_2^{\mathsf T}v_1=0$ — занулилось само из-за $\lambda_1\neq\lambda_2$.

Остаётся только привести диагональ к 1:

• $\tilde w_1^{\mathsf T}v_1=-6 \Rightarrow w_1^{\mathsf T}= -\frac{1}{6}\tilde w_1^{\mathsf T}$
• $\tilde w_2^{\mathsf T}v_2=-15 \Rightarrow w_2^{\mathsf T}= -\frac{1}{15}\tilde w_2^{\mathsf T}$

Тогда

$$W_2^{\mathsf T}= \begin{pmatrix} -\frac{1}{6}\tilde w_1^{\mathsf T}\\[2pt] -\frac{1}{15}\tilde w_2^{\mathsf T} \end{pmatrix} \quad\Rightarrow\quad W_2^{\mathsf T}V_2=I_2.$$

Итог для разных $\lambda$: нормировка = масштабирование каждой строки отдельно.

---

3) Пример B: $k=2$, кратное собственное число (нормировка = решение 2×2 системы)

Возьмём матрицу с кратным собственным числом 2:

$$A=\mathrm{diag}(2,2,-1,-3).$$

Собственное значение $\lambda=2$ имеет кратность 2, и любой вектор в плоскости $(x_1,x_2,0,0)$ — правый собственный. Выберем неортогональные правые СВ:

$$v_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad V_2=\begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1\\ 0&0\\ 0&0 \end{pmatrix}.$$

Левые собственные для $\lambda=2$ тоже живут в строках $(\alpha,\beta,0,0)$. Возьмём “сырые”:

$$\tilde w_1^{\mathsf T}=(1,0,0,0),\quad \tilde w_2^{\mathsf T}=(0,1,0,0).$$

Тогда матрица попарных произведений (k×k “минор”):

$$G=\tilde W_2^{\mathsf T}V_2= \begin{pmatrix} \tilde w_1^{\mathsf T}v_1 & \tilde w_1^{\mathsf T}v_2\\ \tilde w_2^{\mathsf T}v_1 & \tilde w_2^{\mathsf T}v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1&1\\ 0&1 \end{pmatrix}.$$

Хотим найти нормированные левые $W_2^{\mathsf T}$ как линейные комбинации “сырых”:

$$W_2^{\mathsf T}=T\,\tilde W_2^{\mathsf T}, \quad T\in\mathbb R^{2\times 2},$$

и требуем

$$W_2^{\mathsf T}V_2=I_2 \;\Longrightarrow\; T(\tilde W_2^{\mathsf T}V_2)=I_2 \;\Longrightarrow\; TG=I_2 \;\Longrightarrow\; T=G^{-1}.$$

Здесь

$$G^{-1}=\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix} \Rightarrow W_2^{\mathsf T}= \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix},$$

и действительно $W_2^{\mathsf T}V_2=I_2$.

То же самое можно записать как систему на коэффициенты: пусть

$$w_1^{\mathsf T}=(\alpha_1,\beta_1,0,0),\quad w_2^{\mathsf T}=(\alpha_2,\beta_2,0,0),$$

тогда условия $w_i^{\mathsf T}v_j=\delta_{ij}$ дают

$$\begin{cases} \alpha_1=1\\ \alpha_1+\beta_1=0\\ \alpha_2=0\\ \alpha_2+\beta_2=1 \end{cases} \Rightarrow (\alpha_1,\beta_1)=(1,-1),\; (\alpha_2,\beta_2)=(0,1).$$

Итог для кратного $\lambda$: нормировка обычно НЕ раскладывается на независимые “подмасштабы”, а делается через $k\times k$ систему $TG=I$.

---

4) Общая формула для произвольного k (и это ровно “минор k×k”)

Пусть вы нашли какие-то $k$ правых и какие-то $k$ левых собственных векторов для выбранных мод и собрали:

• $V_k=[v_1\ldots v_k]\in\mathbb R^{n\times k}$
• $\tilde W_k^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}\tilde w_1^{\mathsf T}\\ \vdots\\ \tilde w_k^{\mathsf T}\end{pmatrix}\in\mathbb R^{k\times n}$

Считайте “k×k минор сопряжённости”:

$$G=\tilde W_k^{\mathsf T}V_k \in \mathbb R^{k\times k}.$$

Если $\det G\neq 0$, то нормированные левые берутся так:

$$W_k^{\mathsf T}=G^{-1}\tilde W_k^{\mathsf T}, \quad\Rightarrow\quad W_k^{\mathsf T}V_k=I_k.$$

Как это “решается” численно/алгебраически: это $k$ линейных систем размера $k$.
Например, i-я строка $G^{-1}$ находится из

$$x_i^{\mathsf T}G=e_i^{\mathsf T}.$$

---

5) Про случай “кратное собственное число (кратность 2) → два разных полюса”: есть ли принципиальное отличие?

По сути — два разных случая.

Случай 1. Кратность 2, но матрица диагонализуема (геом. кратность тоже 2)

Тогда у вас есть 2 независимых собственных вектора, и с точки зрения размещения полюсов (при управляемости) вы можете задать два разных желаемых полюса $\mu_1\neq\mu_2$: это просто “расщепление” кратного корня.

Отличие в модальном/эигенструктурном подходе обычно не в возможности, а в том, что:

• собственные векторы в кратном подпространстве не уникальны (их можно менять базисом),
• поэтому нормировка почти всегда идёт через полную k×k систему $G^{-1}$, как в Примере B, а не через независимые масштабы.

Случай 2. Кратность 2, но матрица дефектна (геом. кратность 1, есть жорданов блок)

Тогда всего один собственный вектор и один обобщённый (цепочка Жордана).
Вот тут уже возникает принципиальная разница именно для “модального” вывода: вам надо работать с обобщёнными собственными векторами/условиями цепочки, и простая схема “взяли два собственных вектора и нормировали” неприменима как есть.

---

Если хотите, я могу в следующем сообщении связать это прямо с формулами модального управления (как $W_k^{\mathsf T}V_k=I_k$ входит в выражения для проектирования обратной связи при перемещении ровно k мод), но вы просили именно нормировку и именно на k×k — выше это сделано.