Построить дерево и последовательность Прюфера для ...

問題

Построить дерево и последовательность Прюфера для графа с рёбрами E={(1,2),(1,4),(2,3),(2,5),(3,5),(3,4),(4,6)} и вершинами V={1,2,3,4,5,6}

思考

Building a spanning tree and computing Prufer sequence

The user’s graph likely isn’t a tree since it has 7 edges, but I need to build a spanning tree instead. "Построить дерево" might mean "build a spanning tree," so I'll choose one, maybe using BFS/DFS for simplicity. I'll pick edges (1,2), (2,3), (1,4), (4,6), (3,5) for the tree, then compute the Prufer sequence with the standard algorithm.

Computing Prufer sequence and tree construction

I’m calculating the Prufer sequence: starting with leaves 5 and 6, I remove them, record their neighbors, and adjust the degrees. The final sequence is (3, 2, 1, 4). For building a tree from the graph, I’ll need to remove cycles, like those in 1-2-3-4-1. The tree I’ve chosen still works, but there are other possibilities.

Building spanning tree and computing Prufer sequence

I'll provide the answer in Russian, along with textual steps for creating the spanning tree. I'll remove edges (2,5) and (3,4) to break cycles, keeping (3,5). The tree is connected, has 5 edges, and contains no cycles. Then, I’ll explain the steps to derive the Prufer sequence.

Choosing spanning tree via DFS and calculating Prufer sequence

I considered using DFS starting at vertex 1, choosing the lowest labeled neighbors. This creates the same tree as before: edges (1,2), (2,3), (3,5), (1,4), and (4,6). The Prufer sequence from this tree is (3,2,1,4). It’s a canonical choice, so there’s no need to browse for more info.

Thought for 23s

回答

Данный граф не является деревом: при $|V|=6$ у дерева должно быть $|E|=5$ , а здесь рёбер 7 и есть циклы (например, $1-2-3-4-1$ , $2-3-5-2$ ). Поэтому сначала строим остовное дерево (спаннинговое), а затем для него — код Прюфера.

1) Пример остовного дерева

Возьмём 5 рёбер так, чтобы граф оставался связным и без циклов, например:

T=\{(1,2),(2,3),(3,5),(1,4),(4,6)\}.

Это дерево (связно, 6 вершин и 5 рёбер, циклов нет). Его удобно видеть как путь:

6-4-1-2-3-5.

2) Последовательность Прюфера для $T$

Длина кода Прюфера: $n-2 = 6-2 = 4$ .

Алгоритм: каждый раз удаляем лист с наименьшим номером и записываем его соседа.

Степени в дереве: листья сначала $5$ и $6$ .

Удаляем $5$ (лист, минимальный), сосед $3$ ⇒ пишем 3
Теперь листы $3$ и $6$ . Удаляем $3$ , сосед $2$ ⇒ пишем 2
Теперь листы $2$ и $6$ . Удаляем $2$ , сосед $1$ ⇒ пишем 1
Теперь листы $1$ и $6$ . Удаляем $1$ , сосед $4$ ⇒ пишем 4

Итого код Прюфера:

\boxed{(3,\ 2,\ 1,\ 4)}.

Замечание: остовное дерево можно выбрать и по-другому (их несколько), тогда и код Прюфера может получиться другим. Здесь приведён один корректный вариант.

問題

思考