Турист хочет переплыть реку шириной L на моторной ...

創建於：2025年11月30日

問題

t3.JPG

Турист хочет переплыть реку шириной L на моторной лодке. Скорость течения реки постоянна и равна u. Лодка может двигаться относительно воды с постоянной скоростью v, причем v > u. Турист должен стартовать из точки A на одном берегу и прибыть в точку B на противоположном берегу, находящуюся точно напротив точки A (перемещение перпендикулярно берегам). Время переправы оказалось в 2.5 раза меньше, чем время, которое потребовалось бы лодке, чтобы доплыть в точку C и вернуться обратно. Найдите скорость течения u, если скорость v = 15 км/ч. Временем разворота в точке C пренебречь, во всех случаях лодка движется прямолинейно и со скоростью v относительно воды. Ответ дайте в км/ч, округлив до целого. Единицы измерения в ответе указывать не нужно.

思考

Analyzing the river problem

I'm looking at this physics problem where a boat needs to move across a river. The speed of the current is u, and the boat's speed relative to the water is v. To go directly from A to B, the boat has to compensate for the drift, aiming upstream. Also, I need to figure out the boat's journey to point C, downstream along the left bank.

Clarifying direction of flow

I'm realizing there might be some confusion with the flow direction. The arrow labeled 'u' points upward, which means the water moves from C to A. So, C must be downstream of A, even though the direction is from bottom to top. This isn't what I expected, so it’s good to clear it up before proceeding.

Clarifying time ratio for crossing

I'm calculating the time to cross directly from A to B. The text says this time is 2.5 times less than the time it would take to go from A to C and back. So, I think t_cross = t_A->C->A / 2.5. However, the phrase's ambiguity makes me second guess, as “in 2.5 times less” can mean different things depending on interpretation.

Exploring the boat's motion and velocity

I'm analyzing the boat’s motion to point C and back. The time it takes to cross A to B is related to the time from A to C and back, by a 2.5 times difference. To avoid drift while crossing, I’ll adjust the heading such that the boat's horizontal velocity counters the current, ensuring no net drift.

Breaking down the boat's motion

To get across the river without drifting, I’ll aim the boat with a vertical component of -u, so it counters the current. This results in ground velocity along the bank of sqrt(v² - u²), which allows me to calculate the time to cross the river as L / sqrt(v² - u²). For the along-bank trip A to C, since A and C are separated by L along the bank, the boat's velocity will depend on its heading.

Clarifying water flow and direction

Starting from A to C, I’m thinking the boat moves along the current’s direction. The arrow shows the current flowing upward, but this creates confusion about which direction’s upstream or downstream. Given the water’s flow direction, C is upstream, and A is downstream, but the labeling is a bit ambiguous. I'll need to dig deeper into context to finalize.

Clarifying boat movement and velocity

When traveling from A to C, the first leg seems to be against the current (since the current moves upward). So, the boat’s ground speed would be its velocity minus the current's speed. The second leg, going back from C to A, is with the current, meaning the boat's velocity is added to the current’s speed.

Solving for speed and journey times

Given the relationship between times and velocity, I derived an equation for the total time to cross and back, t_ACA. Simplifying, I expressed it in terms of L, v, and u. Then, by comparing times for two different paths, I solved for current velocity u, finding u = 0.6v, which for v = 15 km/h gives u = 9 km/h.

Thought for 1m 31s

回答

При переправе из A в B лодка должна плыть так, чтобы её результирующая скорость была перпендикулярна берегу.
Скорость течения – $u$ , скорость лодки относительно воды – $v$ .

1. Время переправы A–B

Компенсируем течение вертикальной составляющей скорости лодки:

v_y = -u, \qquad v_\perp = \sqrt{v^2 - u^2}

Тогда время переправы:

t_{AB} = \frac{L}{\sqrt{v^2 - u^2}}

2. Время движения A–C–A

По течению скорость относительно берега: $v+u$ , против течения: $v-u$ .

Расстояние A–C равно $L$ , значит:

t_{ACA} = \frac{L}{v+u} + \frac{L}{v-u} = L\left(\frac{1}{v+u} + \frac{1}{v-u}\right) = \frac{2Lv}{v^2 - u^2}

3. Условие задачи

Сказано, что

t_{AB} = \frac{1}{2.5} t_{ACA}

Подставляем выражения:

\frac{L}{\sqrt{v^2 - u^2}} = \frac{1}{2.5} \cdot \frac{2Lv}{v^2 - u^2}

Сокращаем $L$ и вводим $w = \sqrt{v^2 - u^2}$ :

\frac{1}{w} = \frac{2v}{2.5 w^2} \Rightarrow 2vw = 2.5 w^2 \Rightarrow 2v = 2.5 w \Rightarrow w = 0.8v

Следовательно,

\sqrt{v^2 - u^2} = 0.8v \Rightarrow v^2 - u^2 = 0.64v^2 \Rightarrow u^2 = 0.36v^2 \Rightarrow u = 0.6v

При $v = 15\ \text{км/ч}$ :

u = 0.6 \cdot 15 = 9\ \text{км/ч}

Ответ: 9

問題

Остановки A и B расположены на расстоянии 400 м. Трамвай №1 стартует из состояния покоя с остановки А с постоянным ускорением 1 м/с², направленным к точке В. Трамвай №2 в тот же момент проезжает мимо остановки В со скоростью, направленной к остановке А, но с постоянным ускорением 1.2 м/с², направленным от A к B. Через некоторое время трамваи встречаются на соседних рельсах. Известно, что к моменту встречи на участке AB, первый трамвай имел в 2 раза большую по модулю скорость, чем второй. Найдите расстояние от остановки A до этой точки встречи. Ответ дайте в метрах, округлив до целого. Единицы измерения в ответе указывать не нужно.

思考

Guiding the user through a physics kinematics problem

I need to follow the study mode process and avoid giving a final answer right away. First, I'll ask the user about their grade or goal to understand their level. For this specific physics problem, I'll help them set up the variables and equations step by step, engaging them along the way. No final answers yet!

Thought for 5s

回答

Давай разберёмся вместе 😊

Сначала чуть узнаю тебя: в каком ты классе / на каком уровне сейчас решаешь физику (ОГЭ, ЕГЭ, универ)?

А теперь к задаче. Предлагаю ввести ось $x$ вдоль пути от A к B:

$x=0$ в точке A,
$x=400$ м в точке B.

Обозначим через $t$ момент времени, когда трамваи встретятся.

Трамвай №1 стартует из покоя из A с ускорением $a_1 = 1\ \text{м/с}^2$ к B.
Его начальная скорость $v_{1,0} = 0$ , начальная координата $x_{1,0}=0$ .
Трамвай №2 проходит точку B в момент $t=0$ со скоростью к A (то есть в сторону уменьшения $x$ ), а ускорение $a_2 = 1{,}2\ \text{м/с}^2$ направлено от A к B (то есть в сторону увеличения $x$ ).

На момент встречи их координаты совпадают: $x_1(t) = x_2(t)$ .
Плюс известно, что $|v_1(t)| = 2|v_2(t)|$ .

Шаг 1.
Можешь записать уравнение координаты $x_1(t)$ трамвая №1 (с равнопеременным движением, зная начальную скорость и ускорение)? Напиши, что у тебя получается.

問題

思考

Analyzing tram meeting scenarios

At the turning point, tram 1 is at 113m and tram 2 is at 264m, making the second tram ahead. By the time they meet at 333m, the first tram catches up from behind. While they could meet moving in the same direction, it’s more typical in problems to assume they move towards each other.

Considering tram direction and acceleration

The text suggests that Tram #2 moves with acceleration directed from A to B, therefore decelerating when moving towards A. They meet after some time, but the text doesn’t explicitly mention whether it’s still moving towards A. It’s possible they're expected to meet while moving towards each other, looking at velocity signs.

Choosing the right case based on directions

At the meeting point, the first tram’s speed is positive (it’s accelerating towards B), and the second tram is decelerating (with a negative velocity). This suggests we're dealing with Case 1. There’s an assumption both are moving toward each other. Based on the usual exam expectations, I’ll go with the 125m answer.

Reviewing conditions and confirming calculations

The equality we used looks good. We set T=2(v0-1.2T) and checked signs. It gives us v1=2|v2|, which matches the problem's condition. After plugging in values, we get T≈15.81, and the position at meeting is 125m. Also, since T < t_stop, the second tram hasn't reversed yet.

Thought for 1m 38s

回答

Обозначим А за $x=0$ , B за $x=400$ м, ось направлена от A к B.

Трамвай 1
Стартует из покоя из A, ускорение $a_1 = 1\ \text{м/с}^2$ к B:

x_1(t)=\frac{1}{2}a_1 t^2 = \frac12 t^2, \qquad v_1(t)=a_1 t = t.

Трамвай 2
В момент $t=0$ проходит B: $x_2(0)=400$ .
Начальная скорость направлена к A: $v_2(0)=-v_0$ .
Ускорение к B: $a_2=1.2\ \text{м/с}^2$ .

Тогда

x_2(t)=400 - v_0 t + \frac12 a_2 t^2 = 400 - v_0 t +0.6t^2,

v_2(t) = -v_0 + 1.2 t.

Предположим, что при встрече трамваи едут навстречу друг другу, поэтому $v_2(t_{\!*})<0$ и $|v_2| = v_0 - 1.2t_{\!*}$ .

Условие равенства координат (встреча):

x_1(t_{\!*}) = x_2(t_{\!*}): \quad \frac12 t_{\!*}^2 = 400 - v_0 t_{\!*} + 0.6 t_{\!*}^2.

Отсюда

0.1 t_{\!*}^2 = v_0 t_{\!*} - 400. \tag{1}

Условие про скорости:

|v_1| = 2|v_2| \Rightarrow t_{\!*} = 2\,(v_0 - 1.2 t_{\!*}),

t_{\!*} = 2v_0 - 2.4 t_{\!*} \Rightarrow 3.4 t_{\!*} = 2v_0 \Rightarrow v_0 = 1.7 t_{\!*}. \tag{2}

Подставляем (2) в (1):

0.1 t_{\!*}^2 = 1.7 t_{\!*}^2 - 400 \Rightarrow 1.6 t_{\!*}^2 = 400 \Rightarrow t_{\!*}^2 = 250.

Координата точки встречи:

x = x_1(t_{\!*}) = \frac12 t_{\!*}^2 = \frac12 \cdot 250 = 125\ \text{м}.

Ответ: 125

問題

В калориметр со льдом при температуре 0°C налили первую порцию воды массой 100 г при температуре t, после чего установилась температура 10°C. Затем добавили вторую порцию воды массой 200 г при той же температуре t, и температура в калориметре установилась равной 30°C. Удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг·°C), удельная теплота плавления льда 330 кДж/кг. Теплоёмкостью калориметра и потерями тепла пренебречь. Найдите температуру теплой воды t . Ответ дайте в °C, округлив до целого. Единицы измерения в ответе указывать не нужно.

思考

Deriving the temperature in a clear way

So the answer is 44°C. I’ll explain this derivation simply in Russian. First, we assume all ice melts after the first addition, as the final temperature is above 0°C. For the energy balance, we simplify equations and express λ/c in °C. Then, using algebra, we solve for the temperature step by step, starting with the first and second equations.

Thought for 1m 1s

回答

После установления температуры выше 0 °C во всех случаях лёд полностью растаял.

Обозначим:

$m_1 = 0{,}1$ кг – первая порция воды,
$m_2 = 0{,}2$ кг – вторая порция воды,
$M$ – масса льда в калориметре,
$c = 4200$ Дж/(кг·°C),
$\lambda = 330000$ Дж/кг,
$t$ – искомая температура тёплой воды.

1. Первая порция

Тёплая вода охлаждается с $t$ до $10^\circ$ C:

Q_{\text{отд}1} = m_1 c (t - 10).

Это тепло идёт на плавление льда и нагрев образовавшейся воды от 0 до $10^\circ$ C:

Q_{\text{пол}1} = M\lambda + Mc\cdot 10.

Баланс:

m_1 c (t - 10) = M\lambda + Mc\cdot 10. \tag{1}

2. Вторая порция

После первого этапа в калориметре вода массой $M + m_1$ при $10^\circ$ C.
Вторая порция воды при температуре $t$ охлаждается до $30^\circ$ C:

Q_{\text{отд}2} = m_2 c (t - 30),

а масса $M + m_1$ нагревается с $10^\circ$ C до $30^\circ$ C:

Q_{\text{пол}2} = (M + m_1)c\cdot 20.

Баланс:

m_2 c (t - 30) = (M + m_1)c\cdot 20. \tag{2}

Подставляя $m_1=0{,}1$ , $m_2=0{,}2$ , $c$ и $\lambda$ и сократив $c$ , из (2):

0{,}2(t - 30) = 20(M + 0{,}1) \Rightarrow t = 100M + 40.

Из (1):

0{,}1(t - 10) = M\left(\frac{\lambda}{c} + 10\right),\quad \frac{\lambda}{c} = \frac{330000}{4200} = \frac{550}{7},

0{,}1(t - 10) = M\cdot \frac{620}{7} \Rightarrow t = \frac{6200}{7}M + 10.

Приравниваем два выражения для $t$ :

100M + 40 = \frac{6200}{7}M + 10 \Rightarrow M \approx 0{,}038 \text{ кг}.

Тогда

t = 100M + 40 \approx 100\cdot 0{,}03818 + 40 \approx 43{,}8^\circ\text{C}.

Округляя до целого:

Ответ: 44

問題

Бегун с постоянной скоростью бежит круги по трассе. Секундомер, запущенный одновременно со стартом, фиксирует прошедшее время, но отображает только целую часть секунд, округляя вниз. Известно, что при прохождении 21-го круга секундомер показал 165 секунд, а при 25-м — 197 секунд. На основе этих данных требуется определить, сколько различных целочисленных значений может отобразить секундомер в момент финиша 76-го круга.

思考

from fractions import Fraction a,b = Fraction(197,25), Fraction(166,21) for m in [598,599,600]: # we need t in [a,b) and 76 t in [m,m+1) t_low = max(a, Fraction(m,76)) t_high = min(b, Fraction(m+1,76)) print(m, float(t_low), float(t_high), "nonempty" if t_low < t_high else "empty")

Thought for 54s

回答

Обозначим время одного круга через $t$ (в секундах).

Тогда моменты прохождения финиша:

21-й круг: $T_{21}=21t$ ,
25-й круг: $T_{25}=25t$ ,
76-й круг: $T_{76}=76t$ .

Секундомер показывает целую часть времени, то есть
$\lfloor T_{21} \rfloor =165$ и $\lfloor T_{25} \rfloor =197$ .

Отсюда получаем неравенства:

165 \le 21t < 166,\qquad 197 \le 25t < 198.

Находим возможный диапазон для $t$ :

\frac{165}{21} \le t < \frac{166}{21},\qquad \frac{197}{25} \le t < \frac{198}{25}.

Подставляя числа:

t \in \left[\frac{197}{25},\,\frac{166}{21}\right) \approx [7{,}88;\,7{,}90\ldots).

Теперь найдем возможный диапазон для времени 76-го круга:

T_{76} = 76t \in \left[76\cdot\frac{197}{25},\,76\cdot\frac{166}{21}\right) = [598{,}88;\,600{,}76\ldots).

В этом промежутке возможные целые части (значения секундомера) — это все целые числа от 598 до 600:

598,\ 599,\ 600.

Их три.

Ответ: 3

問題

Термос находится в помещении с постоянной температурой. Когда в термос налили воду при 95°C, она остыла на 1°C за 5 минут. С 75°C до 74°C вода остыла за 7.5 минут. За какое время вода остынет с 50°C до 49°C в тех же условиях? Ответ дайте в минутах, округлив до целого. Единицы измерения в ответе указывать не нужно.

思考

Reviewing cooling time calculations

The calculated cooling time is approximately 20.0 minutes, and rounding it gives us 20. I thought it might be worth trying some approximate algebra to see if the constant k is exactly 1/300, but the difference is small. I'll move on to write a concise solution in Russian

Thought for 15s

回答

Используем закон Ньютона охлаждения:

\frac{dT}{dt} = -k\,(T - T_0),

где $T_0$ — температура комнаты, $k$ — постоянная.

Решение:

T(t) - T_0 = (T_{\text{нач}} - T_0)e^{-kt}.

Время охлаждения от $T_1$ до $T_2$ (за один шаг в 1°C):

e^{-k\Delta t} = \frac{T_2 - T_0}{T_1 - T_0}, \quad \Delta t = \frac{1}{k}\ln\frac{T_1 - T_0}{T_2 - T_0}.

1. Два известных участка

От $95^\circ$ C до $94^\circ$ C за 5 мин:

e^{-5k} = \frac{94 - T_0}{95 - T_0}.

От $75^\circ$ C до $74^\circ$ C за 7{,}5 мин:

e^{-7{,}5k} = \frac{74 - T_0}{75 - T_0}.

Заметим, что $7{,}5 = 1{,}5 \cdot 5$ , значит

e^{-7{,}5k} = (e^{-5k})^{1{,}5}.

Тогда

\frac{74 - T_0}{75 - T_0} = \left(\frac{94 - T_0}{95 - T_0}\right)^{1{,}5}.

Решая это уравнение относительно $T_0$ , получаем:

T_0 \approx 34{,}5^\circ\text{C}.

Теперь найдём $k$ из первого участка:

e^{-5k} = \frac{94 - 34{,}5}{95 - 34{,}5} \Rightarrow k \approx 3{,}33 \cdot 10^{-3}\ \text{мин}^{-1}.

2. Участок от $50^\circ$ C до $49^\circ$ C

\Delta t = \frac{1}{k}\ln\frac{50 - T_0}{49 - T_0} = \frac{1}{k}\ln\frac{50 - 34{,}5}{49 - 34{,}5}.

Подставляем:

$50 - 34{,}5 = 15{,}5$ ,
$49 - 34{,}5 = 14{,}5$ ,

\Delta t \approx \frac{1}{0{,}00333}\ln\frac{15{,}5}{14{,}5} \approx 20\ \text{минут}.

Округляем до целого:

Ответ: 20

問題

思考

Analyzing the river problem

Clarifying direction of flow

Clarifying time ratio for crossing

Exploring the boat's motion and velocity

Breaking down the boat's motion

Clarifying water flow and direction

Clarifying boat movement and velocity

Solving for speed and journey times

回答

1. Время переправы A–B

2. Время движения A–C–A

3. Условие задачи

問題

思考

Guiding the user through a physics kinematics problem

回答

問題

思考

Analyzing tram meeting scenarios

Considering tram direction and acceleration

Choosing the right case based on directions

Reviewing conditions and confirming calculations

回答

問題

思考

Deriving the temperature in a clear way

回答

1. Первая порция

2. Вторая порция

問題

思考

回答

問題

思考

Reviewing cooling time calculations

回答

1. Два известных участка

2. Участок от 50∘50^\circ50∘C до 49∘49^\circ49∘C

分享這個問答

2. Участок от $50^\circ$ C до $49^\circ$ C