10.1. (7 баллов) Экспериментатор Василий в своей л...

Перейдём по пунктам.

---

10.1 — про «необычный цикл» в PV-координатах

По тексту задачи про Василия не хватает одной критически важной вещи: как именно выглядят точки 1 и 2 на графике (или чему равны радиусы окружностей / какие точки лежат на дугах).

Задано только:

• координаты центров окружностей: $(2V_0, 2P_0)$ и $(V_0, 2\sqrt{3}\,P_0)$;
• что участок 1–2 — треть окружности;
• $P_0 = 300\ \text{Па}$, $V_0 = 5\ \text{м}^3$.

Из этих данных геометрия цикла не определяется однозначно: можно построить бесконечно много пар окружностей с такими центрами и дугой в $120^\circ$, которые пересекаются в двух разных парах точек 1 и 2. Без самих координат точек 1 и 2 (или радиусов, или ещё хотя бы одного условия) нельзя вычислить:

• ни изменение внутренней энергии на участках,
• ни тепло, ни работу по контуру,
• ни, соответственно, термодинамический КПД.

То есть конкретное число для КПД из того, что у нас есть в тексте, получить нельзя.
Если у тебя есть исходный лист с рисунком цикла (рисунок обычно есть!), пришли его — тогда можно будет досчитать КПД до конца.

---

10.2 — сила давления воды на боковую поверхность купола

Дано:

• усечённый конус (купол):
  • радиусы оснований: $R = 2\ \text{м}$, $r = 1\ \text{м}$;
  • высота (по оси) $H = 2\ \text{м}$;
• под водой плотности $\rho = 1000\ \text{кг/м}^3$;
• центр меньшего основания на глубине $L = 10\ \text{м}$;
• ось купола наклонена под углом $\alpha = 30^\circ$ к поверхности воды (т.е. под $60^\circ$ к вертикали);
• давление воздуха над водой $P_0 \approx 10^5\ \text{Па}$ (по сути, для расчёта силы от избыточного давления воды оно не нужно).

Нас просят:
найти силу, действующую на боковую поверхность купола со стороны воды (по сути — от гидростатического давления воды относительно воздуха внутри, который считаем под тем же давлением $P_0$).

1. Объём усечённого конуса и выталкивающая сила

Объём усечённого конуса:

$$V = \frac{\pi H}{3}\bigl(R^2 + Rr + r^2\bigr)$$

Подставляем:

$$V = \frac{\pi\cdot 2}{3}\,(4 + 2 + 1) = \frac{14\pi}{3} \approx 14.66\ \text{м}^3$$

Выталкивающая сила (Архимедова):

$$F_{\text{арх}} = \rho g V$$

при $\rho = 1000\ \text{кг/м}^3,\ g = 9.8\ \text{м/с}^2$:

$$F_{\text{арх}} \approx 1000 \cdot 9.8 \cdot 14.66 \approx 1.44\cdot 10^5\ \text{Н}$$

Направлена вертикально вверх. (Wikipedia)

2. Силы давления воды на плоские основания

Здесь удобно использовать стандартный факт гидростатики:
сила давления жидкости на плоскую поверхность равна произведению давления в центре тяжести этой поверхности на её площадь (для равномерной плотности и линейного с глубиной давления). (fiziku5.ru)

Мы считаем избыточное давление (относительно воздуха внутри купола), то есть:

$$p(h) = \rho g h$$

• Площадь меньшего основания:

$$A_1 = \pi r^2 = \pi\cdot 1^2 = \pi$$

• Площадь большего:

$$A_2 = \pi R^2 = \pi\cdot 2^2 = 4\pi$$

Глубины центров:

• центр малого основания: $h_1 = 10\ \text{м}$;
• центр большого основания: ось длиной $H=2$ м наклонена к поверхности на $30^\circ$,
  её вертикальная составляющая $H\sin 30^\circ = 1\ \text{м}$,
  значит $h_2 = 10 + 1 = 11\ \text{м}$.

Давления:

$$p_1 = \rho g h_1 = 1000\cdot 9.8\cdot 10 = 9.8\cdot 10^4\ \text{Па}$$ $$p_2 = \rho g h_2 = 1000\cdot 9.8\cdot 11 = 1.078\cdot 10^5\ \text{Па}$$

Силы на основания (по модулю):

$$F_1 = p_1 A_1 \approx 9.8\cdot 10^4\cdot \pi \approx 3.08\cdot 10^5\ \text{Н}$$ $$F_2 = p_2 A_2 \approx 1.078\cdot 10^5\cdot 4\pi \approx 1.35\cdot 10^6\ \text{Н}$$

Обе силы направлены по нормали к плоскости основания (перпендикулярно основаниям, внутрь купола).

Нормаль к основаниям совпадает с осью купола, а ось наклонена к вертикали на $60^\circ$. Поэтому:

• вертикальная компонента каждой из этих сил: $F_{z} = F \cos 60^\circ = \frac{F}{2}$;
• горизонтальная компонента: $F_{h} = F \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}F$.

По знакам:

• на меньшее основание вода давит так, что вертикальная компонента направлена вниз ($-F_1/2$),
• на большее — вертикальная компонента направлена вверх ($+F_2/2$).

Горизонтальные компоненты $F_1$ и $F_2$ направлены в противоположные стороны вдоль оси, их знаки различаются, но для результата нам достаточно финальной комбинации (ниже).

3. Сумма сил и сила на боковую поверхность

По закону Архимеда для всей замкнутой поверхности (бок + два основания):

$$\vec F_{\text{арх}} = \vec F_{\text{бок}} + \vec F_1 + \vec F_2$$

Разложим по вертикали и горизонтали.

Вертикаль:

$$F_{\text{бок},z} = F_{\text{арх}} - \left(-\frac{F_1}{2} + \frac{F_2}{2}\right) = F_{\text{арх}} + \frac{F_1}{2} - \frac{F_2}{2}$$

Подставляя числа:

$$F_{\text{бок},z} \approx 1.44\cdot 10^5 + \frac{3.08\cdot 10^5}{2} - \frac{1.35\cdot 10^6}{2} \approx -3.8\cdot 10^5\ \text{Н}$$

(отрицательный знак — направлена в целом чуть вниз).

Горизонталь:

Можно аккуратно выразить через давления в центрах оснований и их площади, получается

$$F_{\text{бок},h} = \frac{\sqrt{3}}{2}\,(p_2A_2 - p_1A_1)$$

Численно:

$$F_{\text{бок},h} \approx \frac{\sqrt{3}}{2}\,\bigl(1.078\cdot 10^5\cdot 4\pi - 9.8\cdot 10^4\cdot \pi\bigr) \approx 9.1\cdot 10^5\ \text{Н}$$

Теперь модуль силы, действующей на боковую поверхность:

$$F_{\text{бок}} = \sqrt{F_{\text{бок},z}^2 + F_{\text{бок},h}^2} \approx \sqrt{(3.8\cdot 10^5)^2 + (9.1\cdot 10^5)^2} \approx 9.8\cdot 10^5\ \text{Н}$$

То есть:

$$\boxed{F_{\text{бок}} \approx 0{.}98\ \text{МН}}$$

(или округляя до двух значащих цифр — $\approx 1{.}0\ \text{МН}$).

---

10.3 — когда скорости мячей станут сонаправленными

Две девочки бросают мячи:

• начальная скорость одинаковая: $v_0 = 10.0\ \text{м/с}$;
• углы к горизонту: $\alpha_1 = 30^\circ$, $\alpha_2 = 60^\circ$;
• $g = 9.8\ \text{м/с}^2$, сопротивлением воздуха пренебречь.

Компоненты скоростей:

1-й мяч:

$$v_{1x} = v_0\cos 30^\circ,\quad v_{1y} = v_0\sin 30^\circ - gt$$

2-й мяч:

$$v_{2x} = v_0\cos 60^\circ,\quad v_{2y} = v_0\sin 60^\circ - gt$$

Скорости сонаправлены ⇔ векторы $\vec v_1$ и $\vec v_2$ параллельны и направлены в одну сторону, то есть их векторное произведение равно нулю, а знаки компонент совпадают. Условие параллельности:

$$v_{1x}v_{2y} - v_{2x}v_{1y} = 0$$

Подставим:

$$v_0\cos 30^\circ\,(v_0\sin 60^\circ - gt) - v_0\cos 60^\circ\,(v_0\sin 30^\circ - gt) = 0$$

Разделим на $v_0$ и упростим:

$$\cos 30^\circ\,(v_0\sin 60^\circ - gt) - \cos 60^\circ\,(v_0\sin 30^\circ - gt) = 0$$

Численно (но можно и аналитически):

$$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2},\quad \sin 30^\circ = \frac12$$

Получаем:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\left(10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} - 9.8t\right) - \frac{1}{2}\left(10\cdot\frac{1}{2} - 9.8t\right) = 0$$

Приводим подобные и решаем относительно $t$; в итоге:

$$t = \frac{50}{49(\sqrt{3} - 1)} = \frac{25}{49}(1+\sqrt{3})\ \text{с} \approx 1.39\ \text{с}$$

Проверка знаков: в этот момент обе вертикальные компоненты скоростей отрицательны (мячи летят вниз), горизонтальные — положительны, значит векторы действительно сонаправлены.

Ответ:

$$\boxed{t \approx 1.4\ \text{с}}$$

---

Если хочешь, можем добить 10.1, если у тебя есть исходный рисунок цикла или более полный текст условия.