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给你一个整数 n 和一个包含 n 个节点的无向图，节点编号从 0 到 n - 1，以及一个二维数组 ...

創建於：2025年7月13日

使用 O3 回答 Chat01

問題

给你一个整数 n 和一个包含 n 个节点的无向图，节点编号从 0 到 n - 1，以及一个二维数组 edges，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示节点 ui 和节点 vi 之间有一条边。

同时给你一个长度为 n 的字符串 label，其中 label[i] 是与节点 i 关联的字符。

你可以从任意节点开始，移动到任意相邻节点，每个节点最多 访问一次。

返回通过访问一条路径，路径中不包含重复节点，所能形成的最长回文串的长度。

回文串是指正着读和反着读相同的字符串。

示例 1：

输入： n = 3, edges = [[0,1],[1,2]], label = "aba"

输出： 3

解释：

最长的回文路径是从节点 0 到节点 2，经过节点 1，路径为 0 → 1 → 2，形成字符串 "aba"。
这是一个长度为 3 的回文串。
示例 2：

输入： n = 3, edges = [[0,1],[0,2]], label = "abc"

输出： 1

解释：

没有超过一个节点的路径可以形成回文串。
最好的选择是任意一个单独的节点，构成长度为 1 的回文串。
示例 3：

输入： n = 4, edges = [[0,2],[0,3],[3,1]], label = "bbac"

输出： 3

解释：

最长的回文路径是从节点 0 到节点 1，经过节点 3，路径为 0 → 3 → 1，形成字符串 "bcb"。
这是一个有效的回文串，长度为 3。

提示:

1 <= n <= 14
n - 1 <= edges.length <= n * (n - 1) / 2
edges[i] == [ui, vi]
0 <= ui, vi <= n - 1
ui != vi
label.length == n
label 只包含小写英文字母。
不存在重复边。
class Solution {
public int maxLen(int n, int[][] edges, String label) {

}
}
解决这个问题，通过所有例子，并且不能超时。特别注意示例2和示例3的准确性，正确答案分别是1和3，而你上次给出的结果为3和4, 与正确答案不符

思考

Solving palindrome path problem

The user wants a correct solution to a graph problem where we need to find the longest palindrome path string in an undirected graph with up to 14 nodes. The constraints are small enough to use bitmask dynamic programming (DP), where the possible states (2^14) are feasible. I’ll consider using a DP approach based on L, R for the endpoints and mask for visited nodes, while ensuring the string formed is symmetric for a palindrome. It seems we need to focus on the symmetry of the path to ensure correctness.

Designing palindrome algorithm

I’m considering an approach where we enumerate paths using DFS, expanding paths by adding neighbors one at a time but treating expansion symmetrically, starting from both ends. Given that n ≤ 14, we can explore all possible paths with careful pruning. The trick is to check the palindrome condition during path construction—ensuring the characters match at both ends. I’ll need to account for the complexity from enumerating simple paths but also find a more efficient way to handle the larger graph cases.

Expanding palindrome path search

I'm thinking of using a two-pointer technique to expand a path symmetrically, with the goal of finding a palindrome path. Start with pairs of nodes, where labels match, and attempt to expand outward while preserving the simple path constraint. I'll use a BFS to find the longest path, ensuring no node is visited twice. The algorithm will check both odd- and even-length palindromes, expanding symmetrically by ensuring matching nodes are visited properly. The complexity should be manageable even for the largest input size.

Memoizing palindrome search

To avoid memory blow-up, I'll use memoization to record the best path length from each state (positioning and visited nodes). The DFS will work recursively with memoization to avoid redundant explorations. Starting with a bitmask to track visited nodes, we recursively calculate the length for odd and even-length palindromes. The algorithm checks all possible paths through neighbors, ensuring not to revisit nodes. The complexity is manageable, even with the states and possible extensions being large.

Thought for 1m 10s

回答

下面给出一种 按“从中心同时向两端扩展”的 DFS + 位掩码记忆化 做法，能够在 n ≤ 14 的范围内轻松通过全部用例，并保证不超时。
核心思路与普通求最长回文子串的“双指针”类似，只是这里的“左右指针”放在一条无重复节点的简单路径的两个端点上，同时用一个 bitmask 记录已经走过的节点，确保路径不会重复节点。

算法思路

  1. 邻接表
    将无向图转为邻接表 adj，便于遍历相邻节点。

  2. 状态设计

    • mask：当前路径中已访问节点的集合（14 位以内）。
    • l , r：当前路径左右两端点的编号（l ≤ r，对称化能把状态数减半）。
      记忆化字典 memo[mask][l][r] 保存 从状态 (mask,l,r) 出发，再向外同时扩展可得到的最大路径长度。

  3. 初始状态

    • 奇数长度：每个单独节点 (mask=1<<i , l=i , r=i)，长度=1。
    • 偶数长度：对所有存在边 (u,v) 且 label[u]==label[v] 的节点对，
      取 (mask=(1<<u)|(1<<v) , l=min(u,v) , r=max(u,v))，长度=2。

  4. 递归扩展
    对当前 (mask,l,r)

    • 枚举 l 的未访问邻接点 nl；
    • 枚举 r 的未访问邻接点 nr；
    • 必须满足 label[nl]==label[nr] 且 nl!=nr 且 两个新点都未在 mask 中出现；
    • 新状态 (mask|(1<<nl)|(1<<nr) , min(nl,nr) , max(nl,nr))。
      每次扩展都会把路径长度增加 2，持续向外扩展直到无法继续。

  5. 答案
    枚举所有初始状态并调用递归函数，取返回值最大者即为所求。

复杂度分析

  • 状态数量：至多 C = 2^n × n × n / 2 ≈ 16384 × 14 × 7 ≈ 1.6 × 10⁶。
  • 转移次数：每个状态最多枚举 deg(l) × deg(r) 对邻接点，完全图上界 n²=196。
    实际图往往稀疏、剪枝条件又多，因此远小于理论上界。
  • 时间复杂度：O( n² · 2^n )，n=14 时完全可行。
  • 空间复杂度：O( n² · 2^n ) 用来保存记忆化结果，≈ 13 MB。

参考实现（Java 17）

java
import java.util.*;

class Solution {
    private List<Integer>[] adj;
    private String label;
    private Map<Long, Integer> memo;   // key: (mask << 8) | (l << 4) | r
    private int n;

    public int maxLen(int n, int[][] edges, String label) {
        this.n = n;
        this.label = label;
        adj = new ArrayList[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) adj[i] = new ArrayList<>();
        for (int[] e : edges) {
            int u = e[0], v = e[1];
            adj[u].add(v);
            adj[v].add(u);
        }
        memo = new HashMap<>();

        int ans = 1;                         // 至少任选单点
        /* 奇数中心：单个节点 */
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans = Math.max(ans, dfs(1 << i, i, i));
        }
        /* 偶数中心：相邻且同字符的节点对 */
        for (int[] e : edges) {
            int u = e[0], v = e[1];
            if (label.charAt(u) == label.charAt(v)) {
                int mask = (1 << u) | (1 << v);
                int l = Math.min(u, v), r = Math.max(u, v);
                ans = Math.max(ans, dfs(mask, l, r));
            }
        }
        return ans;
    }

    /** 记忆化 DFS：返回从当前状态能达到的最长回文路径长度 */
    private int dfs(int mask, int l, int r) {
        long key = (((long) mask) << 8) | (l << 4) | r;  // mask ≤ 14 bits, endpoints 4 bits each
        Integer memoVal = memo.get(key);
        if (memoVal != null) return memoVal;

        int best = Integer.bitCount(mask);   // 当前路径长度

        for (int nl : adj[l]) {
            if ((mask & (1 << nl)) != 0) continue;       // 已访问
            for (int nr : adj[r]) {
                if (nr == nl) continue;                   // 不能走到同一个新节点
                if ((mask & (1 << nr)) != 0) continue;    // 已访问
                if (label.charAt(nl) != label.charAt(nr)) continue;

                int newMask = mask | (1 << nl) | (1 << nr);
                int next = dfs(newMask, Math.min(nl, nr), Math.max(nl, nr));
                if (next > best) best = next;
            }
        }
        memo.put(key, best);
        return best;
    }
}

说明

  • 去重技巧

    • 把端点 (l,r) 始终按 l ≤ r 排序，避免 (l,r) 与 (r,l) 产生重复状态。
    • 扩展时禁止 nl == nr，因为那会让两端同时走到同一节点，违反“不重复节点”的要求。

  • 示例验证

    • n = 3, edges = [[0,1],[1,2]], label = "aba" → 3
    • n = 3, edges = [[0,1],[0,2]], label = "abc" → 1
    • n = 4, edges = [[0,2],[0,3],[3,1]], label = "bbac" → 3

    与题目期望完全一致。

这样即可在 n ≤ 14 时高效求得最长回文路径长度，避免了之前示例 2/3 的错误输出。

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