Я студент, который только начинает изучать линейну...

Давай по-порядку разберём, что от нас требуется, и как это делать в общем случае.

---

1. Постановка задачи

У нас есть линейный оператор

$$f:\; \mathbb R^3 \to \mathbb R^3$$

в каноническом базисе его матрица

$$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -3\\ -3& 3 & 5\\ 1& 1 & -1 \end{pmatrix}.$$

Нужно найти:

1. Базис ядра оператора $f$ (то есть все $x$ такие, что $A x=0$).
2. Базис образа оператора $f$ (то есть пространство, порождённое столбцами $A$).

---

2. Как найти базис ядра (Null-space)

1. Решаем систему $A x = 0$. Запишем уравнения по строкам: $$\begin{cases} 2x - y -3z = 0,\\ -3x +3y +5z = 0,\\ x + y - z =0. \end{cases}$$
2. Приведём к ступенчатому виду (или просто выразим переменные пошагово). Например, из третьего уравнения $$x = z - y.$$
3. Подставим $x = z - y$ в первое: $$2(z - y) - y -3z = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; 2z -2y -y -3z = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; -z -3y = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; z = -3y.$$
4. Тогда из $x = z - y$ получаем $$x = -3y - y = -4y.$$
5. Обозначим $y = t$. Тогда $$(x,y,z) = (-4t,\;t,\;-3t) = t\;(-4,1,-3).$$ Проверка второго уравнения даст $0=0$, значит всё согласовано.

Вывод:

$$\ker f = \{\,t\cdot(-4,1,-3)\mid t\in\mathbb R\},$$

то есть одномерное пространство, базис можно взять

$$\{(-4,1,-3)\}.$$

---

3. Как найти базис образа (Column-space)

Образ $f$ — это просто линейная оболочка столбцов матрицы $A$:

$$\operatorname{Im}f = \langle \underbrace{(2,-3,1)}_{c_1},\; \underbrace{(-1,3,1)}_{c_2},\; \underbrace{(-3,5,-1)}_{c_3} \rangle.$$

Надо выбрать из них независимые:

1. Проверим, зависим ли $c_3$ от $c_1,c_2$.
   Решим $a\,c_1 + b\,c_2 = c_3$.
   Оказывается, $c_3 = -\tfrac43\,c_1 + \tfrac13\,c_2$.
2. Значит достаточно столбцов $c_1$ и $c_2$ — они линейно независимы.

Вывод:

$$\operatorname{Im}f = \langle (2,-3,1),\;(-1,3,1)\rangle,$$

базис образа можно взять

$$\{(2,-3,1),\;(-1,3,1)\}.$$

---

4. Итоги и проверка теоремы о ранге и дефекте

• $\dim\ker f = 1$.
• $\dim\operatorname{Im}f = 2$.
• Для пространства $\mathbb R^3$ справедливо $\dim\ker f + \dim\operatorname{Im}f = 1 + 2 = 3$.

Таким образом, мы нашли оба базиса.

---

Если что-то осталось неясным (напр., детали приведения к ступенчатому виду), пиши — разберём более подробно!