设计一道高难度的三角恒等变换和多元方程的数学解答题

好的，以下是设计的一个高难度三角恒等变换和多元方程的数学解答题：

题目：

设有三角函数和多元方程如下：

1. 三角恒等变换部分：

   $$\sin(\theta) + \cos(\theta) = \sqrt{2} \cdot \sin\left( \theta + \frac{\pi}{4} \right)$$

   利用三角恒等式，证明上式成立。

2. 多元方程部分： 设有下列方程组：

   $$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\ 2x + 3y - z = 4 \\ x + 2y + 3z = 5 \end{cases}$$

   通过代数运算求出方程组的解，并分析解的几何意义。

提示：

• 对于三角恒等式部分，可以尝试利用加法公式进行转换。
• 对于方程组部分，可以使用代入法、消元法或矩阵方法来求解。

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这个问题结合了三角恒等式的证明和多元方程的求解，具有较高的数学挑战性，适合需要较强代数和三角函数背景的学生。