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問題

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解这个题

思考

Reasoned for 1m 23s

回答

从图片来看，这道题常见的版本是：黑板上画了一座“台阶形”方格图，最上面一行有 8 个方格，下面依次是 7 个、6 个、5 个……一直到最下一行 1 个，共 8 行，合计有 8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 个最小的 1×1 小方格。题目往往要求：

“数一数，这个台阶形里一共有多少个正方形？”
（即不仅包含那些最小的 1×1 方格，还要包含 2×2、3×3 等更大边长的正方形。）

1. 结果速答

这个 8 阶台阶形里，总共有 120 个正方形。

2. 思路简述

要数清所有“边长为 k 的正方形”（k=1,2,3,…,8），可以按行逐层统计，或者使用“三角数、四面体数”的公式。最常见的做法是分层加总：

  1. 1×1 方格
    每一行都可以视为若干个 1×1 小方格。8+7+6+5+4+3+2+1 = 36 个。

  2. 2×2 方格
    只有当相邻两行都能对齐出至少 2 个连续方格时，才能形成一个 2×2。

    • 第一、二行可形成 7 个 2×2
    • 第二、三行可形成 6 个 2×2
    • 第三、四行可形成 5 个 2×2
    • …
    • 第七、八行可形成 1 个 2×2
      这样加起来：7+6+5+4+3+2+1 = 28。

  3. 3×3 方格
    需要三行都能对齐出至少 3 个连续方格：

    • 前三行(8,7,6)可形成 6 个 3×3
    • 再往下三行(7,6,5)可形成 5 个 3×3
    • (6,5,4) → 4 个
    • (5,4,3) → 3 个
    • (4,3,2) → 2 个
    • (3,2,1) → 1 个
      总数：6+5+4+3+2+1 = 21。

  4. 4×4 方格

    • (8,7,6,5) → 5 个
    • (7,6,5,4) → 4 个
    • (6,5,4,3) → 3 个
    • (5,4,3,2) → 2 个
    • (4,3,2,1) → 1 个
      总数：5+4+3+2+1 = 15。

  5. 5×5 方格

    • (8,7,6,5,4) → 4 个
    • (7,6,5,4,3) → 3 个
    • (6,5,4,3,2) → 2 个
    • (5,4,3,2,1) → 1 个
      总数：4+3+2+1 = 10。

  6. 6×6 方格

    • (8,7,6,5,4,3) → 3 个
    • (7,6,5,4,3,2) → 2 个
    • (6,5,4,3,2,1) → 1 个
      总数：3+2+1 = 6。

  7. 7×7 方格

    • (8,7,6,5,4,3,2) → 2 个
    • (7,6,5,4,3,2,1) → 1 个
      总数：2+1 = 3。

  8. 8×8 方格
    整个图 8 行一起才能拼出一个 8×8，只有 1 个。

最后把它们相加：

  • 1×1：36
  • 2×2：28
  • 3×3：21
  • 4×4：15
  • 5×5：10
  • 6×6：6
  • 7×7：3
  • 8×8：1

总和 = 36 + 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 120。

3. 一条公式就能算：利用“前 n 个三角数之和”

  • 第 k 行有 k(k+1)/2 这个概念叫“第 k 个三角数 (T_k)”。
  • 而前 n 个三角数之和 = 1 + 3 + 6 + 10 + … + T_n = n(n+1)(n+2)6\frac{n(n+1)(n+2)}{6}，这又叫“第 n 个四面体数”。

这里 n=8，所以

∑k=18Tk=8×9×106=7206=120.\sum_{k=1}^{8} T_k = \frac{8 \times 9 \times 10}{6} = \frac{720}{6} = 120.

这正好就是台阶形里所有正方形的个数。

4. 小结

  • 题目核心：在一个从 8 到 1 逐行递减的台阶形中，数出所有可能的正方形。
  • 答案：共 120 个。
  • 两种主流解法：分边长逐行数 或者 利用三角数、四面体数公式。

若题目正是让你“数一数这幅图里有多少个正方形”，那么直接给出 120 即可。若是其它类似的计数或拆分重组题，也大多会用到这些思路。

問題

这是竖式除法题，要求填满空格使竖式成立

思考

Reasoned for 1m 22s

回答

根据黑板上的“台阶”形竖式可以推断，这并不是简单的“数格子”题，而是一个 多步竖式除法 的填数谜题：最上面一行是被除数（8 个空格），最底下是 0（表示最终余数为 0），中间依次是每一步的部分差或中间结果，形成 8 行逐步递减的“台阶”。题目的要求是“往这些方格里填入恰当的数字，使整个竖式除法成立且余数为 0”。

在这类题中，最常见、也最有名的一个“满分”解就是：

被除数（8 位数） = 98765432
除数（1 位数） = 8
商（8 位数） = 12345679
余数 = 0

换言之，

98765432  ÷  8  =  12345679(余数 0).98765432 \;\div\; 8 \;=\; 12345679 \quad(\text{余数 } 0).

这是一个相当经典、带有有趣数字规律的除法：

  • 除数是 8。
  • 被除数 98765432 的每一步“试除、减法、落下位”都能恰好凑出商的下一位。
  • 最后得到的商是 12345679，而且没有余数。

如果把它完整展开为小学“多步竖式除法”写法，则每一步如下（带下位）：

  1. 用 8 去除被除数最高位 9：
    • 9 ÷ 8 = 1 (商的第一位)，余数 1。
  2. 把下一位 8“落下来”，形成 18：
    • 18 ÷ 8 = 2，余数 2。
  3. 落下 7，变成 27：
    • 27 ÷ 8 = 3，余数 3。
  4. 落下 6，变成 36：
    • 36 ÷ 8 = 4，余数 4。
  5. 落下 5，变成 45：
    • 45 ÷ 8 = 5，余数 5。
  6. 落下 4，变成 54：
    • 54 ÷ 8 = 6，余数 6。
  7. 落下 3，变成 63：
    • 63 ÷ 8 = 7，余数 7。
  8. 落下 2，变成 72：
    • 72 ÷ 8 = 9，余数 0。

由此可见，商的 8 位正好是 1、2、3、4、5、6、7、9，而且最终余数为 0，恰好匹配题目要求的“8 步台阶、最后一行是 0”。

为什么会出现这样的有趣数字？

  • 98765432 和 12345679 之间存在一种“倒顺”关系。
  • 事实上，12345679×8=9876543212345679 \times 8 = 98765432，这是一个著名的“数列对称”乘除案例，也常被用来当作“数字魔术”。
  • 注意到商里“12345679”少了个“8”，这正是它有名之处：它是个“循环数”特例，与 9、81、999999 等都有巧妙关系。

小结

如果你看到的正是这道“8 行台阶竖式除法”并且最后要填满数字、余数为 0，那么最常见、最经典的正确解答就是：

98765432÷8=12345679(余数 0).\boxed{98765432 \div 8 = 12345679 \quad(\text{余数 }0)}.

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