Можешь подобрать 5 задач по физике для глубокого ...

Ниже приведено 5 задач на идеальный газ и работу газа, которые помогут глубже разобраться в соответствующих термодинамических процессах. Каждая задача кратко описывает физическую ситуацию и ставит вопросы, которые позволяют проработать разные аспекты темы. Для удобства после условий также приведены указания к решениям.

---

Задача 1. Изобарный нагрев с последующим изохорным охлаждением

Условие.
В цилиндре под поршнем находится $n$ молей идеального одноатомного газа. Поршень может двигаться без трения, давление снаружи постоянно и равно атмосферному $p$. Изначально температура газа равна $T_1$.

1. Газ сначала изобарно нагревают до температуры $T_2$. Найти работу, совершённую газом на этом этапе, и количество теплоты, сообщённое газу.
2. Затем процесс резко прекращают, зафиксировав поршень (объём остаётся неизменным), и дают газу остыть изохорически до исходной температуры $T_1$. Найти работу газа и теплоту, отданную газом на этом этапе.
3. Определить общий баланс работы и теплоты за весь процесс, а также изменение внутренней энергии газа.

Указания к решению.

• Для идеального газа $pV = nRT$.
• Работа газа при изобарном процессе: $A = p \Delta V = nR \Delta T$.
• Количество теплоты при изобарном процессе (одноатомный идеальный газ): $Q = \frac{5}{2} nR \Delta T$.
• При изохорном процессе $A = 0$, так как $\Delta V = 0$.
• Теплота при изохорном процессе (одноатомный газ): $Q = \frac{3}{2}nR \Delta T$.
• Изменение внутренней энергии для одноатомного газа: $\Delta U = \frac{3}{2}nR\Delta T$.

Обратите внимание на знаки величин (если температура уменьшается, $\Delta T$ будет отрицательной и теплота отдается внешней среде).

---

Задача 2. Цикл Карно с идеальным газом

Условие.
Имеется тепловой двигатель, работающий по циклу Карно с идеальным газом в качестве рабочего тела. Температура нагревателя $T_H$, а температура холодильника $T_C$. Известно, что на одном цикле двигатель получает от нагревателя количество теплоты $Q_H$.

1. Определить:
   • КПД цикла Карно,
   • количество теплоты $Q_C$, отдаваемое холодильнику за один цикл,
   • работу $A$, которую совершает газ за один цикл.
2. Объяснить, почему реально невозможно достичь КПД, равного КПД Карно, если даже рабочее тело считать идеальным газом.

Указания к решению.

• КПД цикла Карно: $$\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}.$$
• Баланс теплот: $$Q_H - Q_C = A.$$
• Количество теплоты, отдаваемое холодильнику: $$Q_C = Q_H \frac{T_C}{T_H}.$$
• Работа в цикле: $$A = Q_H - Q_C = Q_H \left(1 - \frac{T_C}{T_H}\right).$$

Реально достичь идеальной обратимости нельзя из-за необратимых потерь (трение, конечные градиенты температуры при теплообмене и т.п.).

---

Задача 3. Адиабатическое расширение против внешнего давления

Условие.
В цилиндре под теплоизолированным поршнем содержится $n$ молей идеального одноатомного газа при давлении $p_1$ и температуре $T_1$. Поршень плавно поднимают, позволяя газу расшириться адиабатически от давления $p_1$ до давления $p_2$. Считать процесс квазистатическим (обратимым). Найти:

1. Отношение конечной температуры $T_2$ к исходной $T_1$ в терминах давлений $p_1$ и $p_2$.
2. Совершённую газом работу и изменение внутренней энергии газа.
3. Как изменятся ответы, если процесс провести необратимо (например, в случае свободного расширения в вакуум)?

Указания к решению.

• Для обратимого адиабатического процесса в одноатомном газе используется соотношение: $$p V^\gamma = \text{const}, \quad T V^{\gamma-1} = \text{const}, \quad \gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{5/2}{3/2} = \frac{5}{3}.$$
• Также можно использовать формулу $T p^{-\frac{\gamma - 1}{\gamma}} = \text{const}$. Отсюда $$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}.$$
• При адиабатическом процессе теплота $Q = 0$, следовательно $$\Delta U = -A,$$ где $A$ — работа, совершённая газом (считается положительной, если газ расширяется).
• Для одноатомного газа $U = \frac{3}{2} n R T$, значит: $$\Delta U = \frac{3}{2} n R (T_2 - T_1).$$ Отсюда можно найти $A = -\Delta U$.
• В случае необратимого (например, свободного) расширения в вакуум работа внешним силам не совершается ($A=0$), следовательно $\Delta U = 0$ и температура не меняется (идеальный газ).

---

Задача 4. Политропный процесс и работа газа

Условие.
В цилиндре с поршнем совершается политропный процесс над идеальным газом, описываемый уравнением

$$p V^n = \text{const},$$

где $n$ — показатель политропы. В начальном состоянии (1) газ имеет давление $p_1$, объём $V_1$. Конечное состояние (2) — $p_2, V_2$. Требуется:

1. Найти выражение для работы, совершаемой газом при переходе из состояния (1) в состояние (2).
2. Показать, как из частных значений $n$ можно получить работы для изотермы ($n=1$), адиабаты ($n = \gamma$) и изохоры ($n \to \infty$).

Указания к решению.

1. Работа в политропном процессе: $$A = \int_{V_1}^{V_2} p \, dV.$$ Используя $p = \frac{K}{V^n}$ (где $K = p_1 V_1^n = p_2 V_2^n$), получаем $$A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{K}{V^n} \, dV = K \int_{V_1}^{V_2} V^{-n}\, dV.$$
   • При $n \neq 1$: $$A = \frac{K}{1-n}\left( V^{\,1-n} \right)\Big|_{V_1}^{V_2} = \frac{K}{1-n}\left( V_2^{\,1-n} - V_1^{\,1-n}\right).$$
   • Если подставить $K = p_1 V_1^n$, то $$A = \frac{p_1 V_1^n}{1-n}\left( V_2^{\,1-n} - V_1^{\,1-n}\right).$$
2. Частные случаи:
   • Изотерма ($n=1$): $$pV = \text{const}, \quad A = nRT \ln\frac{V_2}{V_1}.$$
   • Адиабата ($n=\gamma$): $$A = \frac{p_1 V_1^\gamma}{1-\gamma}\left( V_2^{\,1-\gamma} - V_1^{\,1-\gamma}\right),$$ что согласуется с результатами для адиабатического процесса.
   • Изохора ($n \to \infty$): $$V = \text{const}, \quad A = 0.$$

---

Задача 5. Работа в замкнутом цикле с двумя газами

Условие.
В установке имеются два сосуда, соединённых трубкой с краном и поршнем. В левом сосуде — $n_1$ молей идеального газа при давлении $p_1$ и температуре $T_1$. В правом сосуде — $n_2$ молей другого идеального газа при давлении $p_2$ и температуре $T_2$. Оба сосуда можно изолировать или сообщать с внешней средой (можно менять давление снаружи), а также открывать или закрывать кран. Предположим, совершается следующий цикл:

1. Сообщают левый сосуд с атмосферой, плавно изменяют давление снаружи и изобарно нагревают/охлаждают газ так, чтобы привести его к давлению $p_0$ (атмосферное), не меняя количества вещества, затем закрывают сосуд.
2. Аналогично проводят процесс с правым сосудом до того же давления $p_0$.
3. Открывают кран между сосудами и дают газам выровнять давления и температуры при теплообмене со стенками и внешней средой.
4. Повторяют ряд процессов нагрева/охлаждения, возвращая каждую часть газа в исходное состояние $(p_1, T_1)$ и $(p_2, T_2)$.

Требуется проанализировать:

1. Сколько работы совершается при последовательных этапах (1) и (2)?
2. Происходит ли совершение работы (или обмен энергией) при выравнивании давления в пункте (3) (свободное расширение или сжатие)?
3. Будет ли полезная работа, если «объединять» газы при разных давлениях и температурах и затем возвращать их в исходное состояние? (Должно ли нарушаться второе начало термодинамики?)

Указания к решению (краткое направление мысли).

• Определите работу при изобарных переходах (1) и (2): $$A_i = \int p \, dV \quad \text{(где $p=p_0$ или другой заданный).}$$
• При свободном выравнивании давлений (при открытом кране и отсутствии поршней, если процесс быстрый и адиабатический) внешняя работа обычно равна нулю (газ просто переходит в общий объём). Если поршень позволяет газа сжимать, нужно аккуратно учитывать работу против внешних сил.
• Суммарная работа за замкнутый цикл в идеальном случае (если нет тепловых «ловушек») должна быть равна нулю, в противном случае нарушалось бы второе начало термодинамики. Тем не менее в реальной установке возможны потери и необратимости, которые приводят к рассеянию энергии в виде тепла.

При детальном разборе подобных задач важно следить за знаками выполняемой работы и поступающей/отдаваемой теплоты, а также за конечным и начальным состояниями каждой порции газа.

---

Дополнительные рекомендации

1. Решайте задачи системно: следите за первым законом термодинамики $\Delta U = Q - A$ и учитывайте знак работы (работа газа считается положительной, если газ расширяется).
2. Обращайте внимание на теплоёмкости (для одноатомного, двухатомного, многоатомного газа $C_V$ и $C_p$ разные).
3. Используйте графические методы анализа процессов (диаграммы $pV$, $TS$, которые помогают глубже понять поведение системы).
4. Старайтесь указывать направление процессов (обратимые или необратимые), поскольку от этого существенно зависит ответ (например, в адиабате при быстром (необратимом) расширении температура не всегда будет вести себя так, как в квазистатическом случае).

Эти пять задач, каждая со своим углублённым нюансом, помогут освоить ключевые аспекты работы идеального газа и связанной с ней термодинамики.