5.5米长的竹竿，能否通过高4米宽3米的门，要求你认真思考，给出原理和答案。

問題

思考

Considering bamboo rod and door dimensions

这个问题问的是：一个5.5米长的竹竿，能否通过一个4米高、3米宽的门？我需要仔细考虑一下几何原理。

竹竿的长度是5.5米，比门的宽度和高度都大。如果竹竿是刚性的，显然，它本身不可能直接通过门。

不过，如果竹竿以一定角度放置，可能能通过对角线。需要计算这个角度能否适配门的对角线长度。

Exploring rod and door geometry

这个问题让我想到“移动沙发问题”，但又不是完全相同。门的尺寸是4米高和3米宽，门是一个矩形。最长的杆能否通过门呢？可以考虑门的对角线： $L_{max} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ 米，但这个仅是门的对角线长度，比竹竿5.5米短。

因此，竹竿如果想通过门，需要通过某种角度旋转或者移动。不过旋转不仅仅局限于门面的平面。

Revisiting geometry problem

这个问题让我想起了经典的问题：“能通过墙角的最长梯子有多长？”但这和竹竿通过门的问题不同。这个问题涉及到如何在角落和走廊中搬运梯子，不同的是竹竿是要穿过一个门。

如果竹竿适当旋转，可能通过门。对于长杆是否能穿过矩形门，可以通过投影计算其是否符合门的尺寸。杆在三维空间中的旋转会影响其投影，使跨越门的距离变小。

Analyzing the rod and the door

我在考虑，竹竿要能通过门，必须找到某个角度，使得竹竿在门平面上的投影满足门的宽高条件。投影长度是 $L \sin(\alpha)$ ，如果这个长度小于门对角线5米，竹竿应该能通过。经过一些计算，我们发现α需要小于等于 $\arcsin(10/11) \approx 65.38^\circ$ ，这意味着竹竿能以合适的角度通过门。不过，还需要确保竹竿完全能在门的空间内穿过。

Passing the rod through the door

竹竿需要通过一个3米宽、4米高的门，竿子长5.5米。如果竹竿保持平行于门平面，它就无法通过，因为5.5米大于门的对角线。然而，旋转竹竿并调整角度可以减小其在门平面的投影，使得投影长度小于5米，这样竹竿就有可能穿过门。通过选择合适的角度（大约65.38度），可以使竹竿刚好适应门的对角线，从而顺利通过。

Passing bamboo rod through door

为了让一个5.5米长的竹竿通过一个3米×4米的门，我们可以旋转竹竿，使其与门的法线形成合适的角度。竹竿在门平面上的投影长度将是L sin(α)，如果设置sin(α) = 5/5.5，即投影为5米，这样竹竿就可以通过门。关键在于竹竿不能仅平行于门旋转，而是需要在三维空间中旋转，以确保它的有效长度小于或等于门的对角线长度5米。所以，竹竿可以通过。

已推理，持续 1m 30s

回答

我们先注意到门的尺寸为宽3米、高4米，其对角线长度为

\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5\text{米}.

如果我们仅在门平面内旋转竹竿（即使竹竿始终平行于门面），最长能放进门内的竹竿长度也只能是5米（沿对角线方向摆放）。因此，5.5米长的竹竿显然不能“平铺”进门。

不过，问题允许我们在三维空间内操作，也就是说可以让竹竿不完全平行于门面。设竹竿的长度为 $L=5.5$ 米，在过门的关键时刻，我们可以把竹竿倾斜，使得它与门面的法线（垂直于门面的方向）成角 $\alpha$ ；此时，竹竿在门平面上的正交投影长度为

L\sin\alpha.

为了能将这根竹竿穿过门，这个投影必须放进门的开口内，而一个任意长度为 $d$ 的线段能放入一个长为3米、宽为4米的矩形内的充分必要条件是

d\le \sqrt{3^2+4^2}=5\text{米}.

也就是说，我们需要

5.5\sin\alpha\le 5.

解此不等式得

\sin\alpha\le \frac{5}{5.5}=\frac{10}{11}\approx0.9091.

显然，存在 $\alpha$ 满足这一条件（例如取 $\alpha=\arcsin(10/11)\approx65.38^\circ$ ）。在这种情况下，竹竿在门面上的投影恰好不超过5米，而且我们还可以适当旋转竹竿，使得这5米的投影正好沿着门的对角线方向摆放。

因此，虽然5.5米长的竹竿若直接在门平面内放置会显得过长，但通过在三维空间中倾斜和旋转，其在门面上的“宽度”可以缩短到不超过5米，从而顺利通过高4米、宽3米的门。

答案： 可以。

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