翰翰在一個正方體的六個面上，各寫上一個正整數，並使相對兩面所寫的兩個數之和都相等，如果11、17、3...

設正方體每一對相對的兩個面的數字和皆為 $S$。已知有三對面，其中一面的數字分別為 11、17、38，其對面分別為 $a, b, c$。因此可得

$$\begin{aligned} a &= S - 11,\\[1mm] b &= S - 17,\\[1mm] c &= S - 38. \end{aligned}$$

題目要求 $a, b, c$ 都是質數，且 $S$ 為定值且大於 38（因為 $c = S - 38 > 0$）。

令 $a = S - 11 = p$（其中 $p$ 為質數），則

$$S = p + 11.$$

代入其它兩式，可得

$$\begin{aligned} b &= S - 17 = (p+11)-17 = p - 6,\\[1mm] c &= S - 38 = (p+11)-38 = p - 27. \end{aligned}$$

要求 $b$ 和 $c$ 也為質數，即 $p-6$ 和 $p-27$ 均為質數。又因 $c = p-27 \geq 2$，故 $p \geq 29$。

試探 $p = 29$：

• 當 $p = 29$ 時，
  • $a = 29$（質數），
  • $b = 29 - 6 = 23$（質數），
  • $c = 29 - 27 = 2$（質數）。

此時 $S = p + 11 = 29 + 11 = 40$，並且對應關係為

$$11 + 29 = 40,\quad 17 + 23 = 40,\quad 38 + 2 = 40.$$

各對面的和皆相等，且 $a, b, c$ 均為質數。

因此有 $a = 29,\, b = 23,\, c = 2$，則

$$a + b + c = 29 + 23 + 2 = 54.$$

最終答案：54.