Законы логических операций

Ниже приведён точный повтор исходного текста и формул без каких-либо изменений:

---

1) Закон идемпотентности:

$$A \lor A = A$$ $$A \& A = A$$

Закон утверждает, что объединение высказывания с самим собой (операция «ИЛИ») или пересечение его с собой (операция «И») даёт исходное высказывание.

---

2) Закон коммутативности:

$$A \lor B = B \lor A$$ $$A \& B = B \& A$$

Знак «ИЛИ» ($\lor$) и «И» ($\&$) коммутативны, то есть порядок операндов не изменяет результат.

---

3) Закон ассоциативности:

$$A \lor (B \lor C) = (A \lor B) \lor C$$ $$A \& (B \& C) = (A \& B) \& C$$

Порядок группировки при операциях «ИЛИ» и «И» не меняет их результат, что позволяет выполнять операции в любом порядке.

---

4) Закон дистрибутивности:

$$A \& (B \lor C) = (A \& B) \lor (A \& C)$$ $$A \lor (B \& C) = (A \lor B) \& (A \lor C)$$

Данный закон показывает, как взаимодействуют операции «ИЛИ» и «И», аналогично арифметическим правилам дистрибутивности.

---

5) Закон поглощения:

$$A \lor (A \& B) = A$$ $$A \& (A \lor B) = A$$

Это правило гарантирует, что более сложные выражения, включающие $A$, упрощаются до $A$.

---

6) Закон де Моргана:

$$\overline{A \lor B} = \overline{A} \& \overline{B}$$ $$\overline{A \& B} = \overline{A} \lor \overline{B}$$

Эти законы связывают «ИЛИ», «И» и отрицание. Они важны для преобразования и упрощения логических выражений.

---

7) Закон двойного отрицания:

$$\overline{\overline{A}} = A$$

Двойное отрицание высказывания эквивалентно самому высказыванию.

---

8) Законы с константами (0 и 1):

$$A \lor 1 = 1$$

(выражение всегда истинно, если хотя бы один аргумент истинен)

$$A \lor 0 = A$$ $$A \& 1 = A$$ $$A \& 0 = 0$$

(выражение всегда ложно, если хотя бы один аргумент ложный).

Здесь 1 – истина, а 0 – ложь. Эти правила описывают взаимодействие высказывания с абсолютными значениями.

---

9) Закон противоречия:

$$A \& \overline{A} = 0$$

Выражение не может быть одновременно истинным и ложным.

---

10) Закон исключённого третьего (исправленная формула):

$$A \lor \overline{A} = 1$$

---

(Конец точной цитаты.)

Ниже приведён тот же текст и формулы, но вместо знака «&» для операции «И» используется символ «∧». Содержание и порядок не изменены, за исключением замены символа.

---

1) Закон идемпотентности:

$$A \lor A = A$$ $$A \land A = A$$

Закон утверждает, что объединение высказывания с самим собой (операция «ИЛИ») или пересечение его с собой (операция «И») даёт исходное высказывание.

---

2) Закон коммутативности:

$$A \lor B = B \lor A$$ $$A \land B = B \land A$$

Знак «ИЛИ» ($\lor$) и «И» ($\land$) коммутативны, то есть порядок операндов не изменяет результат.

---

3) Закон ассоциативности:

$$A \lor (B \lor C) = (A \lor B) \lor C$$ $$A \land (B \land C) = (A \land B) \land C$$

Порядок группировки при операциях «ИЛИ» и «И» не меняет их результат, что позволяет выполнять операции в любом порядке.

---

4) Закон дистрибутивности:

$$A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$$ $$A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$$

Данный закон показывает, как взаимодействуют операции «ИЛИ» и «И», аналогично арифметическим правилам дистрибутивности.

---

5) Закон поглощения:

$$A \lor (A \land B) = A$$ $$A \land (A \lor B) = A$$

Это правило гарантирует, что более сложные выражения, включающие $A$, упрощаются до $A$.

---

6) Закон де Моргана:

$$\overline{A \lor B} = \overline{A} \land \overline{B}$$ $$\overline{A \land B} = \overline{A} \lor \overline{B}$$

Эти законы связывают «ИЛИ», «И» и отрицание. Они важны для преобразования и упрощения логических выражений.

---

7) Закон двойного отрицания:

$$\overline{\overline{A}} = A$$

Двойное отрицание высказывания эквивалентно самому высказыванию.

---

8) Законы с константами (0 и 1):

$$A \lor 1 = 1$$

(выражение всегда истинно, если хотя бы один аргумент истинен)

$$A \lor 0 = A$$ $$A \land 1 = A$$ $$A \land 0 = 0$$

(выражение всегда ложно, если хотя бы один аргумент ложный).

Здесь 1 – истина, а 0 – ложь. Эти правила описывают взаимодействие высказывания с абсолютными значениями.

---

9) Закон противоречия:

$$A \land \overline{A} = 0$$

Выражение не может быть одновременно истинным и ложным.

---

10) Закон исключённого третьего (исправленная формула):

$$A \lor \overline{A} = 1$$

---

(Конец текста с заменой символа «&» на «∧» в формулах.)

Ниже приведён тот же текст, но с заменой знака «&» на символ «∧» (логическая конъюнкция). Кроме того, в описании ключевых операций слово «Конъюнкция» теперь сопровождается символом «∧». Все прочие элементы текста и порядок изложения сохранены.

---

Законы действий с высказываниями описывают ключевые правила работы с логическими операциями, которые используются в математической логике, информатике, теории множеств и других дисциплинах. Эти законы помогают упрощать логические формулы, находить их эквиваленты и проверять истинность высказываний при различных условиях. Прежде чем перейти к закону, важно пояснить, что же такое ключевые логические операции:

1. Конъюнкция ($\land$) (операция "И") — это логическая операция, которая возвращает значение "истина" только в том случае, если оба операнда истинны. Пример: для $A = \text{истина}$ и $B = \text{истина}$, $A \land B = \text{истина}$.

2. Дизъюнкция ($\lor$) (операция "ИЛИ") — это логическая операция, которая возвращает "истина", если хотя бы один из операндов истинный. Пример: $A = \text{ложь}$, $B = \text{истина}$, тогда $A \lor B = \text{истина}$.

3. Импликация ($\rightarrow$) (логическое следование) — операция, показывающая, что истинность первого высказывания $A$ гарантирует истинность второго высказывания $B$, но если $A$ ложно, импликация всегда истинна. Например, $A = \text{ложь}$, $B = \text{истина}$, тогда $A \rightarrow B = \text{истина}$.

4. Эквиваленция ($\leftrightarrow$) (логическое равенство) — операция, которая возвращает "истина", если оба операнда имеют одинаковое логическое значение: либо оба истинны, либо оба ложны. Пример: $A = \text{истина}$, $B = \text{истина}$, тогда $A \leftrightarrow B = \text{истина}$.

Теперь представлены законы действий с высказываниями:

1. Закон идемпотентности:

   • $A \lor A = A$
   • $A \land A = A$

   Объединение высказывания с самим собой ("ИЛИ") или пересечение его с собой ("И") приводит к тому же самому высказыванию.

2. Закон коммутативности:

   • $A \lor B = B \lor A$
   • $A \land B = B \land A$

   При операциях "ИЛИ" ($\lor$) и "И" ($\land$) порядок операндов не влияет на итог.

3. Закон ассоциативности:

   • $A \lor (B \lor C) = (A \lor B) \lor C$
   • $A \land (B \land C) = (A \land B) \land C$

   Порядок группировки не изменяет результат.

4. Закон дистрибутивности:

   • $A \land (B \lor C) = (A \land B) \lor (A \land C)$
   • $A \lor (B \land C) = (A \lor B) \land (A \lor C)$

   Описывает, как операции "ИЛИ" и "И" могут распределяться друг через друга.

5. Закон поглощения:

   • $A \lor (A \land B) = A$
   • $A \land (A \lor B) = A$

   Сложное выражение, включающее $A$, упрощается до $A$.

6. Закон де Моргана:

   • $\overline{A \lor B} = \overline{A} \land \overline{B}$
   • $\overline{A \land B} = \overline{A} \lor \overline{B}$

   Связывает отрицание с операциями "ИЛИ" и "И".

7. Закон двойного отрицания:

   • $\overline{\overline{A}} = A$

   Отрицание отрицания возвращает исходное высказывание.

8. Законы с константами (0 и 1):

   • $A \lor 1 = 1$
   • $A \lor 0 = A$
   • $A \land 1 = A$
   • $A \land 0 = 0$

   1 представляет истину, а 0 — ложь. Эти законы описывают взаимодействие выражений с абсолютными константами.

9. Закон противоречия:

   • $A \land \overline{A} = 0$

   Выражение и его отрицание не могут быть одновременно истинными.

10. Закон исключенного третьего:

    • $A \lor \overline{A} = 1$.

    Каждое высказывание либо истинно, либо ложно, третьего не дано.

Законы действий с высказываниями являются основой для анализа и упрощения логических утверждений. Они полезны при проектировании цифровых схем, разработке алгоритмов и решении задач логического анализа.