Непрерывность vs равномерная непрерывность

Непрерывность функции $f$ на отрезке $[a,b]$ в точке $x_0$ формально означает: для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta>0$, зависящее (вообще говоря) от $\varepsilon$ и от $x_0$, такое что при всех $x$, удовлетворя $|x - x_0| < \delta$, выполняется $\bigl|f(x) - f(x_0)\bigr| < \varepsilon$. При этом говорят, что $f$ непрерывна в точке $x_0$. Если функция непрерывна в каждой точке отрезка $[a,b]$, её называют непрерывной на отрезке.

Равномерная непрерывность на том же отрезке $[a,b]$ требует более сильного условия: для любого $\varepsilon > 0$ существует $\delta>0$, зависящее только от $\varepsilon$ (и не зависящее от конкретной точки $x$), такое что для любых $x, y \in [a,b]$ из условия $|x - y| < \delta$ следует $\bigl|f(x) - f(y)\bigr| < \varepsilon$.

Другими словами:

1. Обычная непрерывность: $\delta$ может меняться от точки к точке (зависит от $x_0$).
2. Равномерная непрерывность: одно и то же $\delta$ «работает» сразу для всех точек на отрезке.

Важно упомянуть классический факт:

Если функция непрерывна на замкнутом и ограниченном отрезке $[a,b]$, то она автоматически является равномерно непрерывной на этом отрезке.

Пример, показывающий различие на неограниченных промежутках:

• Функция $f(x) = \frac{1}{x}$, определённая на интервале $(0,1]$, — непрерывна, но не является равномерно непрерывной (по мере приближения к нулю скачки во значениях становятся «слишком резкими», и одного «универсального» $\delta$ для всех точек найти нельзя).