Равносторонний треугольник 1004

Piecing together the puzzle

I'm gathering info on an equilateral triangle subdivided into 1004 smaller equilateral triangles, 1003 with side length 1, leaving 1 larger possible triangle.

Determining the side length

I’m working through the formula for triangles subdivided into smaller equilateral ones: $n^2$. With 1003 unit triangles and 1004 total, the side length $n$ satisfies $n^2 = 1004$.

Revisiting subdivision approach

OK, let me see: I’m thinking about how an equilateral triangle with side length $n$ is subdivided into $n^2$ smaller equilateral triangles of side length 1, totaling 1004.

Piecing together numbers

OK, let me see. Trying to connect 1004 to a subdivision formula, but 1004 isn't a perfect square. So, the puzzle might involve a unique larger triangle.

Figuring out side length

I'm gathering info on 1003 unit triangles and one bigger or smaller triangle. The total area of these smaller triangles should match the area of the original larger triangle.

Mapping out areas

Equating the area of the larger triangle to the combined area of the smaller triangles reveals $a^2 = 1003 + x^2$, considering $a$ as an integer.

Figuring out possible pairs

I'm trying factor pairs of 1003 to identify $a$ and $x$. For $d_1 = 1$ and $d_2 = 1003$, $a = 502$ and $x = 501$.

Piecing together possibilities

I’ve identified two potential side lengths for the larger triangle: 502 with a smaller triangle of 501, and 38 with a smaller triangle of 21.

Evaluating geometric possibilities

I'm examining if the two valid side lengths for the larger triangle can be precisely arranged with the smaller triangles to ensure a perfect geometric fit.

Fitting pieces together

I'm mapping out how side lengths of 38 and 502 can fit with smaller triangles, ensuring a perfect geometric match, leading to the final sum of 540.

Thought about равностороннем треугольнике и его разбиении für 1m 11s

Разбор задачи

Пусть сторона исходного равностороннего треугольника равна $a$. Он разбит на 1004 меньших равносторонних треугольника, из которых $1003$ имеют сторону $1$, а один имеет сторону, скажем, $x$. Все треугольники непременно укладываются без наложений внутрь большого треугольника.

1. Площадь большого треугольника.
   Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ равна

   $$S_{\text{большой}} \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2.$$

2. Суммарная площадь малых треугольников.
   Из 1004 треугольников:

   • $1003$ треугольника со стороной 1, каждый имеет площадь $\tfrac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \tfrac{\sqrt{3}}{4}$. Суммарная площадь этих $1003$ треугольников: $$1003 \;\times\; \frac{\sqrt{3}}{4}.$$
   • $1$ треугольник со стороной $x$, площадь которого $$\frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2.$$

   Итого суммарная площадь всех малых треугольников:

   $$S_{\text{малые}} \;=\; 1003 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \;+\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,x^2 \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,\bigl(1003 + x^2\bigr).$$

3. Условие равенства площадей.
   Разбиение целиком заполняет большой треугольник, значит

   $$S_{\text{большой}} \;=\; S_{\text{малые}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\sqrt{3}}{4}\,a^2 \;=\; \frac{\sqrt{3}}{4}\,\bigl(1003 + x^2\bigr).$$

   Откуда получаем

   $$a^2 \;=\; 1003 + x^2 \;\;\Longrightarrow\;\; a^2 \;-\; x^2 \;=\; 1003.$$

   Перепишем как

   $$(a - x)\,(a + x) \;=\; 1003.$$

4. Факторизация числа $1003$.
   Заметим, что $1003 = 17 \times 59$. Положительные разложения $1003$ на два множителя таковы:

   $$1003 = 1 \times 1003 \quad\text{или}\quad 1003 = 17 \times 59.$$

   Пусть

   $$a - x = d_1, \quad a + x = d_2, \quad d_1 < d_2,\; d_1 \cdot d_2 = 1003.$$

   Тогда

   $$\begin{cases} 2a = d_1 + d_2,\\ 2x = d_2 - d_1. \end{cases}$$
   • Случай 1. $d_1 = 1,\; d_2 = 1003.$ $$2a = 1 + 1003 = 1004 \;\;\Longrightarrow\;\; a = 502, \quad 2x = 1003 - 1 = 1002 \;\;\Longrightarrow\;\; x = 501.$$
   • Случай 2. $d_1 = 17,\; d_2 = 59.$ $$2a = 17 + 59 = 76 \;\;\Longrightarrow\;\; a = 38, \quad 2x = 59 - 17 = 42 \;\;\Longrightarrow\;\; x = 21.$$

То есть с точки зрения площади (а значит и потенциальной возможности разбиения) подходят ровно два набора $(a,x)$:

Остаётся проверить, что такое разбиение действительно существует в каждом случае (подтверждение обычно даётся в решении задач такого типа с помощью схемы «крупный треугольник со стороной $x$ + «ободок» шириной $a - x$, разбиваемый на равно¬сторонние единичные треугольники»).

В результате получаем два допустимых значения стороны исходного треугольника:

По условию, если значений несколько, нужно указать их сумму. Следовательно,

Breaking down the problem

I’m working through an advertisement and promo code confusion, converting letters to digits. Out of 288,000 participants, 32,000 typed it correctly initially, while 256,000 didn't.

Evaluating second attempts

OK, let me see. Of those who failed initially, 68% contacted support, while the rest let the opportunity pass. The focus is on participants who succeeded on their second try without external help.

Evaluating random entries

I’m mapping out random entries for the promo code "GOGOGO30," focusing on the likelihood of errors in interpreting "О," "0," "З," and "3" during the second attempt without support consultation.

Identifying ambiguous characters

I’m analyzing the promo code "GOGOGO30" and pinpointing the ambiguous characters: three O's, one 3, and one 0, as they can both represent letters and numbers.

Clarifying ambiguous characters

I’m carefully examining the promo code "GOGOGO30" to ensure accuracy. Three O's, one 3, and one 0 are identified as ambiguous, each matching either a letter or a number.

Clarifying character pairs

I’m noting that the promo code "GOGOGO30" contains ambiguous pairs: "O" and "0," "З" and "3." This positioning suggests a higher chance of typing errors.

Identifying ambiguity

I’m mapping out how "O," "0," and "3" can be interpreted differently, creating ambiguity in each promotional code position. Progress is steady as I clarify these elements.

Pinpointing ambiguity

OK, let me see. There are five ambiguous spots in "GOGOGO30": three O's, one 3, and one 0. Each can be typed correctly or incorrectly.

Calculating typing odds

I’m calculating the odds of correctly typing the ambiguous promo code "GOGOGO30" with five ambiguous spots, each typed randomly, finding a 1/32 chance. This aligns with the initial 1/9 probability.

Determining initial accuracy

OK, I’m piecing together that 32,000 participants guessed the correct promo code "GOGOGO30" initially. The rest, using random guessing, found the odds of a second correct guess to be 1/32.

Triangulating outcomes

OK, let’s see. Out of 230,400 participants, 7,200 guessed the promo code correctly on their second attempt with a 1/32 probability, refining the calculation from before.

Tracking progress

32,000 participants guessed the promo code correctly initially, while 7,200 nailed it on the second try without seeking support, totaling 39,200 who managed it on their own.

Determining the percentage

OK, I’ve figured out that 39,200 participants typed the promo code correctly without seeking support. Calculating this as a percentage of the total, I get 13.611%.

Thought about промокод и техническая поддержка für 2m 23s

Разберём задачу по шагам.

1. Исходные данные

1. Всего участников акции — 288 000 человек.

2. Каждый девятый (то есть $\tfrac{1}{9}$ от общего числа) сразу вводит промокод правильно. Значит:

   $$\text{Сразу верно} = \frac{288000}{9} = 32000.$$

3. Остальные $288000 - 32000 = 256000$ человек вводят промокод неправильно с первой попытки.

4. Из этих 256 000 ошибшихся:

   • 10 % (то есть 25 600) сразу обращаются в техподдержку;
   • остальные 90 % (то есть 230 400) пробуют ввести промокод ещё раз.

5. Во второй раз (по условию) те, кто пробует снова, случайно выбирают, где ставить букву «О» или цифру «0», а также «З» или «3».

   • Из текста задачи (и из реального промокода вида «G O G O G O 3 0») видно, что в коде пять «неоднозначных» символов:
     • три буквы O (каждая может быть перепутана с 0),
     • одна цифра 3 (может быть перепутана с буквой З),
     • одна цифра 0 (может быть перепутана с буквой O).
   • Всего получается $5$ позиций, в каждой из которых есть 2 варианта ввода (правильный или неправильный).
   • Вероятность угадать все 5 позиций верно (если человек тыкает наугад) равна $$\left(\tfrac{1}{2}\right)^5 \;=\;\tfrac{1}{32}.$$

6. Значит, из 230 400 человек, которые делают вторую попытку, верно введут промокод:

   $$230400 \;\times\;\frac{1}{32} \;=\; 7200.$$

   Остальные $230400 - 7200 = 223200$ снова ошибутся.

7. Из тех, кто во второй раз тоже ошибся (223 200 человек):

   • 68 % обращаются в техподдержку, то есть $0{,}68 \times 223200 = 151776$ человек;
   • остальные $223200 - 151776 = 71424$ вовсе отказываются от покупки.

2. Кто в итоге ввёл промокод правильно без обращения в техподдержку?

1. Те, кто сразу ввёл верно: 32 000 человек (им техподдержка не нужна).

2. Те, кто с первой попытки ошибся, но не пошёл в техподдержку и зато угадал со второй: 7 200 человек.

   Обратите внимание, что эти 7 200 — как раз из тех 230 400, кто пошёл на вторую попытку (а не обратился в поддержку после первой неудачи).

Таким образом, без техподдержки и правильно промокод ввели:

3. Искомый процент

Из общего числа 288 000 это составляет

Задача просит дать ответ «с точностью до трёх знаков после запятой», значит итоговый результат: