二次多項式解集分析

創建於：2025年1月13日

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問題

題目內容如下：

已知實係數二次多項式函數 $y = f(x)$ 的圖形與 x 軸交於 $(1, 0)$ 、 $(2, 0)$ 兩點；實係數二次多項式函數 $y = g(x)$ 的圖形與 x 軸交於 $(2, 0)$ 、 $(3, 0)$ 兩點，則下列哪些選項可能為 $f(x) + g(x) > 0$ 的解？

選項：

$x > 3$ 或 $x < 1$
$x$ 為任意實數
$x \neq 2$
無解
$\frac{3}{2} < x < 2$

思考

Mapping out the polynomials

I’m analyzing two real-coefficient quadratics, f(x) and g(x), with zeros at specific x values. I'll explore where their combined sum is greater than zero. This involves examining their signs.

Examining interval possibilities

I’m considering if f(x) + g(x) > 0 for x > 3 or x < 1, by setting a positive or negative value for a and b. This approach helps gauge feasible intervals.

Evaluating options

I’m examining a negaitve sign for a or b, finding that f(x) + g(x) = 2(x-2), which is positive for x > 2 and negative for x < 2.

Reevaluating intervals

Taking a closer look, I’m examining combinations of a and b to understand if the solution set shifts to intervals x > 3 or x < 1.

Laying out the options

I’m looking into intervals x > 3 or x < 1, aiming to understand if one quadratic can be > 0 outside [1,3] by examining the parabola's shape and roots.

Piecing together polynomial equations

I’m working through polynomial equations to see if x > 3 or x < 1 can fit roots at 1 and 3, factoring as c(x-1)(x-3).

Breaking down the solution

I’m trying to factor f(x) + g(x) as c(x-1)(x-3). However, a contradiction arises, indicating no solution for c > 0, and x > 3 or x < 1 is not feasible.

Adjusting parameters

I’m tweaking a and b to ensure the polynomial remains > 0. The aim is for a negative discriminant, confirming no real roots and constant positivity.

Calculating the discriminant

I’m testing various a and b combinations to assess if the polynomial remains always positive. By examining the discriminant, it appears as a perfect square with positive results.

Determining the discriminant

I expanded and simplified the discriminant, confirming it as (a-b)^2, implying non-negativity. This indicates the polynomial always has real roots, making it impossible for the polynomial to stay strictly > 0 for all x.

Confirming polynomial properties

I verified that setting a = b leads to a repeated root. This ensures the polynomial is non-negative for all x, with equality at the repeated root, making solution #2 impossible.

Evaluating combinations

I examined a = 1 and b = 1, leading to f(x) + g(x) = 2(x-2)^2, which is non-negative for all x and zero at x = 2. This suggests the solution #3 is viable.

Evaluating feasibility

Considering a = b < 0, the polynomial becomes non-positive. For x > 1.5 and x < 2, the sum can turn positive, potentially fitting solution #5.

Analyzing polynomial behavior

I’m examining a downward-opening parabola with roots at 1.5 and 2. This setup can produce a positive interval between the roots, suggesting potential solution #5.

Mapping polynomial factors

I’m working through polynomial factors to see if a negative constant can meet conditions for solution #5, ensuring positive results between specific limits.

Thought about quadratic functions and solutions 花的時間為 40 秒

回答

解析思路：

設

f(x)=a(x-1)(x-2),\quad g(x)=b(x-2)(x-3),

其中 $a,b$ 為實數常數。那麼

f(x)+g(x) = a\bigl(x^2-3x+2\bigr)+b\bigl(x^2-5x+6\bigr) = (a+b)x^2 + (-3a-5b)\,x + (2a+6b).

1. 先觀察判別式

二次式 $(a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b)$ 的判別式為

\Delta = \bigl[-3a - 5b\bigr]^2 \;-\; 4\,(a+b)\,(2a+6b).

先將括號展開、整理：

$\bigl[-3a - 5b\bigr]^2 = 9a^2 + 30ab + 25b^2.$
$(a+b)(2a+6b) = 2a^2 + 8ab + 6b^2.$
再乘上 4 得 $4\,(2a^2 + 8ab + 6b^2) = 8a^2 + 32ab + 24b^2.$

因此

\Delta = (9a^2 + 30ab + 25b^2) - (8a^2 + 32ab + 24b^2) = a^2 - 2ab + b^2 = (\,a - b\,)^2 \;\ge 0.

結論

$f(x) + g(x)$ 這個二次式的判別式永遠是 $(a-b)^2$ ，因此它要嘛有兩個實根、要嘛是一對重根 (當 $a=b$ 時)。
這也意味著，不可能 出現「對所有實數 $x$ 都大於 0」(即整個拋物線完全在 $x$ -軸上方且無交點) 的情形。

2. 檢驗各選項可否「成為」 $f(x)+g(x)>0$ 的解集

題目列出的候選解集有：

$x>3$ 或 $x<1$ 。
$x$ 為任意實數。
$x \neq 2$ 。
無解。
$\tfrac{3}{2}<x<2$ 。

我們要判斷：對某些 $a,b$ 的選取，有沒有可能 使得 $f(x)+g(x) > 0$ 的解正好是這些集合之一。

(A) 選項 2：「 $x$ 為任意實數」是否可能？

若要對所有實數 $x$ 都有 $f(x)+g(x) > 0$ ，那代表整條拋物線「永遠在 $x$ -軸之上且無交點」。
然而上面判別式分析已知 $\Delta = (a-b)^2 \ge 0$ ，所以二次式一定有實根(單、雙根都算)。

若 $\Delta>0$ ，有兩 distinct 實根，拋物線一定會有一段在 $x$ -軸下方。
若 $\Delta=0$ ，只有一個重根，頂多做到「 $\ge0$ for all $x$ 」，而在重根處等於 0，並沒有「嚴格大於 0」。

因此不可能「對所有 $x$ 都嚴格大於 0」；選項 2 不可能。

(B) 選項 3：「(x \neq 2\」是否可能？

如果希望 $f(x)+g(x)$ 只有在 $x=2$ 時等於 0、其他時候都 > 0，表示整個拋物線只有一個重根，而且開口向上。

一個重根在 $x=2$
開口向上 $\implies a+b>0$
並且在該重根處 $f(x)+g(x)=0$ 。

讓我們嘗試最簡單情形：令 $a=b=1$ ，則

f(x)= (x-1)(x-2),\quad g(x)= (x-2)(x-3).

則

f(x)+g(x) = (x^2-3x+2)\;+\;(x^2-5x+6) = 2x^2 -8x + 8 = 2\,(x-2)^2.

這個拋物線正好只在 $x=2$ 時碰到 0，其他 $x$ 值均為正。
因此其解集為 $x \neq 2$ 。

證實選項 3 可以實現。

(C) 選項 4：「無解」是否可能？

「無解」表示 $f(x)+g(x) > 0$ 根本沒有任何解，也就是對所有 $x$ 都「 $\le$ 0) 或至少「從不大於 0」。

要做到「整條拋物線永遠在 $x$ -軸之下或剛好壓在上面」，需要

開口向下 (即 $a+b < 0$ )，
且判別式 $\Delta \le 0$ 讓它不「抬頭」穿過 $x$ -軸。

我們已知 $\Delta=(a-b)^2$ 。若要 $\Delta=0$ 則 $a=b$ 。

再加上 $a+b<0$ ，可令 $a=b<0$ 。

舉例：

a=b=-1\quad\Longrightarrow\quad f(x)+g(x) = -1\,(x-1)(x-2)\;+\; -1\,(x-2)(x-3).

先分別展開：

f(x) = -(x^2-3x+2)= -x^2 +3x -2,

g(x) = -(x^2 -5x+6)= -x^2 +5x -6.

相加得到

f(x)+g(x) = -2x^2 +8x -8 \;=\; -2\,\bigl(x^2 -4x +4\bigr) = -2\,(x-2)^2.

整條拋物線開口向下，且最大值在 $x=2$ 處為 0，其它地方更小，因此

f(x) + g(x) \;\le\; 0,

「嚴格大於 0」的解不存在。

證實選項 4 可以實現。

(D) 選項 1：「 $x>3$ 或 $x<1$ 」是否可能？

要讓「解集是 $x<1$ 或 $x>3$ 」表示拋物線在區間 $(1,3)$ 之間整段 < 0、而在外面 > 0。
換言之，該二次式若開口向上，則它的兩個交點應該是 $x=1$ 與 $x=3$ ，使得外側呈現 > 0、內側 < 0。

我們想看看：能否令

f(x) + g(x)\;=\; c\,(x-1)(x-3), \quad \text{且 } c>0\,?

若可以，就會得到解集 $x<1$ 或 $x>3$ 。

但是透過「把 $f(x)+g(x)$ 與 $c\,(x-1)(x-3)$ 比較係數」去解聯立方程，最終會發現無法同時滿足(會導致參數矛盾)。實際計算可見：

若令 $f(x)+g(x) = (a+b)x^2 + (-3a-5b)x + (2a+6b)$ ，想要它正好等於 $c(x^2 -4x +3)$ ，需滿足： $a+b=c,\quad -3a-5b = -4c,\quad 2a+6b = 3c.$ 解此系統會出現衝突(最終會逼出 $c=0$ )，代表無法同時滿足。

因此，選項 1 不可能 透過某對 $a,b$ 來實現。

(E) 選項 5：「 $\tfrac{3}{2}<x<2$ 」是否可能？

想要解集是「在 $\tfrac{3}{2}$ 與 $2$ 之間」才 > 0，代表

這條拋物線應該開口向下(才能在兩根之間為正、外側為負)，
且兩個交點正好是 $x=\frac{3}{2}$ 與 $x=2$ 。

也就是

f(x)+g(x) = c\,(x - \tfrac{3}{2})(x - 2), \quad c<0.

展開得

(x - \tfrac{3}{2})(x - 2) = x^2 - \tfrac{7}{2}x + 3,

所以

f(x)+g(x) = c\,\bigl(x^2 -3.5\,x +3\bigr),

並比較係數：(設 $\alpha=a+b,\;\beta=-3a-5b,\;\gamma=2a+6b$ )

\alpha = c,\quad \beta = -3.5\,c,\quad \gamma = 3c.

去解

a+b = c,\quad -3a -5b = -3.5\,c,\quad 2a +6b = 3c,

只要能在 $c<0$ 下找到實數 $a,b$ 即可。實際運算確可解出一整組參數(不會矛盾)。例如選 $c=-4$ ，就能求出 $a=-3,\,b=-1$ （或其他對應解），最後得到拋物線的根果然是 $\frac{3}{2},\,2$ ，開口向下，區間 $\frac{3}{2}<x<2$ 為正。

證實選項 5 可以實現。

3. 總結

選項 1 ( $x>3$ 或 $x<1$ )：不可能。
選項 2 ( $x$ 為任意實數)：不可能。
選項 3 ( $x \neq 2$ )：可以。
選項 4 (無解)：可以。
選項 5 ( $\tfrac{3}{2}<x<2$ )：可以。

答案：3、4、5。

問題

思考

回答

1. 先觀察判別式

2. 檢驗各選項可否「成為」 f(x)+g(x)>0f(x)+g(x)>0f(x)+g(x)>0 的解集

(A) 選項 2：「xxx 為任意實數」是否可能？