相对论密度计算

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这是一个相对论长度收缩与“相对论质量”一起使用来计算密度的典型题。关键思想是：

1. 在甲的参考系中（棒与甲一起运动）

   • 棒对甲来说是静止的，因此它的长度就是题目给出的 $L$，截面积是 $S$，质量是 $m$（通常指静止质量）。
   • 甲测得的棒的体积为 $$V_\text{甲} \;=\; L \times S$$
   • 由于质量为 $m$，故棒在甲参考系中的密度 $$\rho_\text{甲} \;=\; \frac{m}{\,L\,S}\,.$$

2. 在乙的参考系中（棒以 $v=0.8c$ 运动）

   • 因为棒沿运动方向放置，长度会发生相对论收缩。设 $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1-\tfrac{v^2}{c^2}}}$，则乙测得的棒长 $$L' \;=\; \frac{L}{\gamma}\,.$$
   • 截面积 $S$ 与运动方向正交，不会发生长度收缩，所以仍是 $S$。
   • 如果本题采用“相对论质量”$M = \gamma\,m$ 的旧式表述（很多传统教材中如此处理密度问题），那么乙眼中棒的“质量”就是 $$M \;=\; \gamma\,m\,.$$
   • 乙测得的棒体积 $$V_\text{乙} \;=\; L'\times S \;=\; \frac{L}{\gamma} \times S\,.$$
   • 因此乙测得的棒的密度为 $$\rho_\text{乙} \;=\; \frac{\,M\,}{\,V_\text{乙}\!} \;=\; \frac{\gamma\,m}{\bigl(\tfrac{L}{\gamma}\bigr)S} \;=\; \gamma^2\,\frac{m}{\,L\,S}\,.$$

综上所述，答案通常写成

1. 甲测得此棒的密度

2. 乙测得此棒的密度

其中

是洛伦兹因子。本题给定 $v=0.8c$ 时，$\gamma = \frac{5}{3}$，于是
$\rho_\text{乙} = \bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^2 \times \tfrac{m}{LS} = \tfrac{25}{9}\,\tfrac{m}{LS}$.